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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Sei die Funktion f [mm] 2\pi-periodisch [/mm] und gegeben durch
f(x)=
[mm] |x-\pi/2|-\pi/2 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 3/2\pi
[/mm]
[mm] 2\pi-x [/mm] für [mm] 3/2\pi \le [/mm] x < [mm] 2\pi [/mm]
a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [mm] [-2\pi, 2\pi]!
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Fourierreihe der Funktion.
Hinweis: [mm] \integral_ [/mm] xsin(nx)dx=(sin(nx)/n²)-x*(cos(nx)/n) |
Hallo,
ich kann mit der Aufgabenstellung bis jetzt nichts anfangen. Hatten heute die erste Vorlesung und ich habe nicht mal annähernd verstanden, was eine Fourierreihe überhaupt ist, geschweige denn, wie ich sie bestimme :-(. Ich bin sehr gerne bereit, mich Schritt für Schritt an die Hand nehmen zu lassen und mir ganz langsam erklären zu lassen, was ich überhaupt machen muss, aber so wie die Aufgabe gestellt ist, weiß ich gar nichts. Die Skizze kriege ich vielleicht noch hin, aber auch da wäre es super, wenn ich die irgendwie vergleichen könnte!
Danke schon mal für jeden Hinweis!
Katrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallihallo,
um sich dem Thema zu nähern überlege ich zuerstmal was die Begriffe bedeuten:
a) Was bedeutet "Fourier": war ein Mathematiker
b) Wann kann man Fourier Reihen überhaupt benutzen?
~ Nur für periodische Vorgänge
c) Was kann man durch Fourier Reihen erreichen?
~ man kann eine beliebige gegebenen Funktion g(x) durch eine Summe von sinus bzw.
cosinus Schwingungen beschreiben.
darstellen $g(x) = [mm] \frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(k\omega [/mm] x) + [mm] b_k sin(k\omega [/mm] x)$
d) Warum sollte man das machen?
~ wenn f(x) leicht abzuleiten ist, dann kann man für g(x) fix eine Ableitung berechnen
Für die Berechnung der Koeffizienten gibt es Gleichungen, die ich im Moment leider nicht so weiß
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Noch mal hallo.
Danke erst mal für deine Hilfe. Wir haben leider auch in der Übung keine Zeit mehr für die Fourierreihen gehabt, sodass ich im Prinzip immer noch nicht viel schlauer bin als vorher.
Ich habe aber zumindest den ersten Teil gelöst und die Funktion mal skizziert. Da komme ich auf so eine komische "Sägezahnfunktion", stimmt wenigstens das?
Jetzt habe ich diese Formeln für die Koeffizienten und auch die Formel für die Reihe plus den Hinweis aus der Aufgabenstellung.
Jetzt bin ich noch soweit, dass ich weiß, dass die Funktion ungerade bzgl. 0 ist, also sind wohl alle a(n)=0. Die Reihe heißt dann nur noch b(n)sinnx? Ich weiß überhaupt nicht, was ich jetzt eigentlich machen muss :-(. Kann mir irgendjemand da noch weiterhelfen? Wäre super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 So 23.04.2006 | | Autor: | self |
Hallo!
Ich hab die Funktion auch mal gezeichnet .. ist wohl wirklich etwas "zahniges". auf -2 [mm] \pi [/mm] bis +2 [mm] \pi [/mm] müssten es vier Zähne sein (vier umgedrehte Vs).
Wie schon gesagt wurde geht es bei Fourierreihen darum, periodische Funktionen dadurch zu approximieren in dem man sie als überlagerung von Schwingungen darstellst. Wenn du dir den Cosinus betrachtest sind das ja auch wellen - nur nicht so zackig wie im Beispiel. Nun kann man z.B. den Cosinus/Sinus strecken und stauchen und die Amplitude verändert und damit andere Wellen hinbekommen. Durch Überlagerung (vieler) verschiedener solcher Schwingungen ist es dann möglich eigentlich jede periodische Funktion zusammenzubasteln. Warum man das macht kann verschiedene Gründe haben. U.a. kann man dann z.B. leichter Ableiten oder mit der Funktion im Computer rechnen.
Fourierreihe bedeutet, dass man im Grunde unendlich viele solche Schwingungen überlagert - damit hat man also die ursprüngliche Funktion "unendlich genau" angenähert - und also wieder die selbe Funktion in einer anderen Darstellung.
Die Berechnung der Fourierreihe ist eigentlich "ohne weiteres" nach den Formlen die ihr bestimmt auch in der Vorlesung hattet möglich .. du musst dazu nur die Fourierkoeffizienten ausrechnen (hier gibt es auch Formeln dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe) und diese dann in die allgemeine Formel der Fourierreihe einsetzen...
Ich hoffe ein wenig geholfen zu haben...
Grüße, Alex
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Hallo!
Danke erst mal, du hast mir auf jeden Fall weitergeholfen.
Allerdings kann ich die Aufgabe immer noch nicht wirklich lösen.
Erstens habe ich bei der Zeichnung keine 4 umgedrehten Vs :-(, sondern nur 2 1/2. Für -2pi ist die Funktion 0, ebenso für -pi, 0, pi und für 2pi, oder? Bei -3/2pi habe ich als Wert -pi/2, ebenso für pi/2. Und bei -pi/2 und 3/2pi ist mein y pi/2. Stimmt das soweit wenigstens?
Ich habe nun raus, dass alle a(n) gleich 0 sind, weil f ungerade ist. Für b(n) habe ich die Formel
b(n)= [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)sinnx dx}. [/mm] Aber ich weiß nicht, welchen Teil von f(x) ich da überhaupt einsetzen muss oder wie es danach weitergeht? Kann mir noch jemand bei diesem konkreten Fall helfen? Wäre supernett, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Kann mir bitte irgendwer bei diesem konkreten Fall helfen? Ich bin immer noch an einer Antwort interessiert...
Ich weiß nicht mal, welchen Teil von f(x) ich dann in dieses Integral einsetzen muss, geschweige denn, wie es dann weitergeht.
Wäre euch echt dankbar!
Ciao, Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Fr 28.04.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hallo Liebe Mathefreunde
Hab Gestern mal eine Idee gepostet - vielleicht liest sie ja einer 
MfG
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 27.04.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hallo Katrin85,
also ich kann Dich gut verstehen, Fourier-Reihen waren auch nicht mein Lieblingsthema.
Eine kurze Einleitung:
In der Praxis trifft man zahlreiche periodische Vorgänge an (z.B. Schwingungen in der Akustik, Optik, Elektrotechnik; Kolbenbewegung usw.), die meist keine reinen Sinusschwingungen sind, sich also nicht durch den Ausdruck der Form [mm] f(x)=A*sin(\alpha [/mm] x + [mm] \beta) [/mm] darstellen lassen. Man kann jedoch versuchen, durch Überlagerung harmonischer Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen solche periodischen Vorgänge zu erfassen. Den entscheidenen Lösungsansatz fand Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) und zu seinen Ehren nennt man diese Reihen auch Fourier-Reihen. Ein wichtiger Vorteil solcher Reihen besteht unter anderem darin, dass auch unstetige Fuktionen dargestellt werden können, wohingegen die Entwicklung einer Funktion in einer Taylorsche Reihe die Existenz von Ableitungen beliebig hoher Ordnung voraussetzt.
Was sind nun diese Fourier-Reihen eigentlich?
Es sei f die den Vorgang darstellende Funktion (also deine Funktion f(x))
Man kann annehmen, dass f die Periode [mm] 2\pi [/mm] hat.
( Besitzt f(x) die Periode [mm] 2\phi, [/mm] so gelangt man mittels der Substitution [mm] t=\bruch{ \pi }{ \phi }x [/mm] zur Funktion [mm] \psi(t)=f(\bruch{\phi}{ \pi }t) [/mm] mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] ).
Es soll nun versucht werden die Funktion f in eine spezielle Funktionenreihe zu entwickeln, und zwar in die sogenannte trigonometrische Reihe [mm] f(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)) [/mm] deren Glieder periodisch sind mit der gemeinsamen Period [mm] 2\pi. [/mm]
Mit den Konstanten [mm] a_n=\bruch{1}{ \pi }*\integral_{ \delta }^{ \delta + 2\pi }f(x)*cos(nx)dx [/mm] und [mm] b_n=\bruch{1}{ \pi }*\integral_{ \delta }^{ \delta +2\pi }f(x)*sin(nx)dx
[/mm]
Vorab ein paar Definitionen:
Def.: Es sei f integrierbar und Summe der trigonometrischen Reihe. Die Konstanten nennt man Fourier-Koeffizienten der Funktion f. Die trigonometrische Reihe, in der die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] die Fourier-Koeffizienten von f sind, bezeichnet man entsprechend Fourier-Reihe von f. Die Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe heißt harmonische Analyse.
Def.: (Derichletsche Bedingungen)
1.) f ist auf [mm] (-\pi,\pi) [/mm] bis auf höchstens endlich viele stellen stetig.
2.) An jeder Unstetigkeitsstelle [mm] x=x_0 [/mm] existieren die eigentlichen einseitigen Grenzwerte [mm] f(x_0+0) [/mm] und [mm] f(x_0-0)
[/mm]
3.) Es existieren die einseitigen Grenzwerte [mm] f(-\pi+0) [/mm] und [mm] f(\pi-0)
[/mm]
4.) Das Intervall [mm] (-\pi,\pi) [/mm] läßt sich so in endlich viele (offene) Teilintervalle zerlegen, dass f auf jedem Teilintervall monoton ist.
Satz: Genügt f auf [mm] (-\pi,\pi) [/mm] den Dirichletschen Bedingungen, so konvergiert die Fourier-Reihe dieser Funktion für jedes x und besitzt die Summe
1.) f(x) an jeder Stetigkeitsstelle [mm] x \in (-\pi,\pi) [/mm],
2.) [mm] \bruch{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} [/mm] an jeder Unstetigkeitsstelle [mm] x_0 \in (-\pi,\pi)
[/mm]
3.) [mm] \bruch{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2} [/mm] an den Stellen [mm] x=\pm\pi
[/mm]
Versuchen wir uns an einem Beispiel das deinem recht ähnlich ist.
Bsp.: [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0 \le x \le 2 \\ 6-2x, & \mbox{für } 2 < x \le 3 \end{cases} [/mm] mit der Periode 3 fortgesetzt, stellt eine "Sägezahn"-Kurve" dar. Die Entwicklung in eine Fourier-Reihe erfolgt, nachdem durch die Substitution [mm] t=\bruch{2\pi}{3}x [/mm] bzw. [mm] x=\bruch{3}{2\pi}t [/mm] das Intervall der Länge 3 auf die Länge [mm] 2\pi [/mm] gestreckt wird.
Dadurch erhalten wir: [mm] f(x)=f(\bruch{3}{2\pi}t)=: \phi (t)=\begin{cases} \bruch{3}{2\pi}t , & \mbox{für } 0 \le t \le \bruch{4}{3}\pi \\ 6-\bruch{3}{\pi}t, & \mbox{für } \bruch{4}{3}\pi \le t \le 2\pi \end{cases}
[/mm]
Beachte bitte: [mm] t= \bruch{2\pi}{3}*x \mbox{ mit } x=2 \Rightarrow t= \bruch{4}{3}\pi - Intervallgrenze [/mm]
Die Funktion [mm] \phi [/mm] (t) wird mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] fortgesetzt. Sie erfüllt auf [mm] (-\pi,\pi) [/mm] die Direchletschen Bedingungen und wird deshalb in diesem offenen Intervall (und damit überall) durch ihre Fourier-Reihe dargestellt.
[mm] \phi (t)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n*cos(nt)+b_n*sin(nt)) [/mm] - die Fourier-Koeffizient erhalten wir mit den entsprechenden Integralen indem man dort [mm] \delta =0 [/mm] setzt:
also für
[mm] a_n=\bruch{1}{ \pi }*\integral_{ 0 }^{ 2\pi } \phi (t)*cos(nt)dt=\bruch{3}{2\pi^2}*\integral_{0}^{\bruch{4}{3}\pi}t*cos(nt)dt+\bruch{6}{\pi}*\integral_{\bruch{4}{3}\pi}^{2\pi}cos(nt)dt-\bruch{3}{\pi^2}*\integral_{\bruch{4}{3}\pi}^{2\pi}t*cos(nt)dt [/mm] mit n={0,1,2,3,...}
[mm] b_n=\bruch{1}{ \pi }*\integral_{ 0 }^{ 2\pi } \phi (t)*sin(nt)dt= \underbrace{\bruch{3}{2\pi^2}*\integral_{0}^{\bruch{4}{3}\pi}t*sin(nt)dt}_{ \phi (t)=\bruch{3}{2\pi}t}+\underbrace{ \bruch{6}{\pi}\integral_{\bruch{4}{3}\pi}^{2\pi}sin(nt)dt-\bruch{3}{\pi^2}*\integral_{\bruch{4}{3}\pi}^{2\pi}t*sin(nt)dt}_{ \phi (t)=6-\bruch{3}{\pi}t} [/mm] mit n={1,2,3,...}
Somit kann ich nun [mm] a_0 [/mm] berechnen, d.h. ich setzte [mm] n=0 [/mm] somit ist [mm] cos(0*t)=1 [/mm] womit sich die Integrale ziemlich vereinfachen.
Nicht erschrecken - die Terme sehen etwas wild aus, aber es kürzt sich alles recht gut zusammen, so dass man für ein zwischen Ergebnis erhält:
[mm] a_0=\bruch{4}{3}+\bruch{6}{\pi}*(\bruch{2\pi}{3})-\bruch{3}{2\pi^2}*(\bruch{20}{9}\pi^2)=\bruch{4}{3}+4-\bruch{10}{3}=2
[/mm]
Mit Hilfe der partiellen Integration bzw. deinem Hilfsintegral aus der Aufgabe kommt man nun auf die Fourier-Koeffizienten [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n. [/mm] Und zwar für [mm] a_n=\bruch{9}{2\pi^2n^2}*(cos(n\bruch{4}{3}\pi)-1) [/mm] und für [mm] b_n=\bruch{9}{2\pi^2n^2}*sin(n\bruch{4}{3}\pi) [/mm] mit [mm] n \in \IN [/mm]
für [mm] \integral{x*cos(ax)dx}=\bruch{cos(ax)}{a^2}+\bruch{x*sin(ax)}{a}
[/mm]
das entsprechende Intergral für Sinus kennst Du ja schon.
Ersetzt man t wieder durch [mm] \bruch{2\pi}{3}x, [/mm] so folgt schließlich
[mm] f(x)=1+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n*cos(\bruch{2n\pi}{3}x)+b_n*sin(\bruch{2n\pi}{3}x))
[/mm]
für [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] setzt man dann hier die entsprechenden Terme ein. Und schon hat man eine Fourier-Reihe für die Funktion f.
Wenn Du Dir in deinen Lehrbüchern oder Scripten die Kapitel für Fourier-Reihen für gerade und ungerade Funktionen anschaust, könntest Du dir ein Teil der Arbeit noch erleichtern.
Ein kleiner spezieller Tip für deine Funktion f.
[mm] f(x)=\begin{cases} |x-\bruch{\pi}{2}|-\bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } 0 \le x < \bruch{3}{2\pi} \\ 2\pi-x, & \mbox{für } \bruch{3}{2\pi} \le x < 2\pi \end{cases}
[/mm]
[mm] b_n=\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*sin(nx)dx}=\integral_{0}^{\bruch{3}{2\pi}}{(|x-\bruch{\pi}{2}|-\bruch{\pi}{2})*sin(nx)dx}+\integral_{\bruch{3}{2\pi}}^{2\pi}{(2\pi-x)*sin(nx)dx}
[/mm]
Ich hoffe das ich Dir hiermit etwas helfen konnte.
MfG
Oliver
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Servus liebe Gemeinde!
Es tut mir leid wenn ich so ein altes Thema nochmal ausgrab, aber die Kurzerläuterung von "PottKaffee" ist bemerkenswert schlüssig und hilfreich gewesen!
Auch ich habe nun bald meine Prüfungen vor mir und in Mathe fehlt mir leider nur noch das leidige Thema "Fourrierreihen".
Da ich damals zu dieser Zeit leider lange krank gewesen bin, versuche ich mir das ganze momentan selbst beizubringen, via Internet und Mathebuch.
Bisher habe ich auch ein gutes Verständnis bekommen, aber ich habe noch eine Baustelle: die Fourierkoeffizienten.
Wie kommt man auf die von PottKaffee genannten Koeffizienten a(n), bzw. b(n). Zu erst einmal find ich, dass der ganze Integrationsweg ja schon sehr lang ist (normal so?). Habe eine ganze Seite beschrieben um auf a(n) zu kommen und zu allem Drama stimmt meine Lösung nicht mit der von PottKaffee überein, noch nicht einmal mein Ansatz!
Siehe a(n): Er hat 3 Integrale über jeweils eigene Intervalle. Ich integriere dann alle nacheinander (nach dem Schema, welche oben in der Aufgabenstellung steht) und setz am Ende die Intervalle ein -um eben die Fläche für den jeweiligen Intervallabschnitt rausbekommen. Dann Addier ich den Spass und erhalt immer iwas extrem kompliziertes dabei.
Wäre vllt jemand so freundlich diesen Weg mal ausführlich hinzuschreiben?
Leider habe bisher nix vergleichbares bei Google gefunden, überall steht stets nur die Lösung zu den Koeffizienten, aber nie der Lösungsweg!
Danke im Vorraus!
Mfg Sören
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Hallo soeren288,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Servus liebe Gemeinde!
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> Es tut mir leid wenn ich so ein altes Thema nochmal
> ausgrab, aber die Kurzerläuterung von "PottKaffee" ist
> bemerkenswert schlüssig und hilfreich gewesen!
>
> Auch ich habe nun bald meine Prüfungen vor mir und in
> Mathe fehlt mir leider nur noch das leidige Thema
> "Fourrierreihen".
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> Da ich damals zu dieser Zeit leider lange krank gewesen
> bin, versuche ich mir das ganze momentan selbst
> beizubringen, via Internet und Mathebuch.
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> Bisher habe ich auch ein gutes Verständnis bekommen, aber
> ich habe noch eine Baustelle: die Fourierkoeffizienten.
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> Wie kommt man auf die von PottKaffee genannten
> Koeffizienten a(n), bzw. b(n). Zu erst einmal find ich,
> dass der ganze Integrationsweg ja schon sehr lang ist
> (normal so?). Habe eine ganze Seite beschrieben um auf a(n)
> zu kommen und zu allem Drama stimmt meine Lösung nicht mit
> der von PottKaffee überein, noch nicht einmal mein
> Ansatz!
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> Siehe a(n): Er hat 3 Integrale über jeweils eigene
> Intervalle. Ich integriere dann alle nacheinander (nach dem
> Schema, welche oben in der Aufgabenstellung steht) und setz
> am Ende die Intervalle ein -um eben die Fläche für den
> jeweiligen Intervallabschnitt rausbekommen. Dann Addier ich
> den Spass und erhalt immer iwas extrem kompliziertes dabei.
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> Wäre vllt jemand so freundlich diesen Weg mal ausführlich
> hinzuschreiben?
Berücksichtige die Symmetrieeigenschaften von f(x).
Dann reduziert sich die Berechnung der Integrale.
> Leider habe bisher nix vergleichbares bei Google gefunden,
> überall steht stets nur die Lösung zu den Koeffizienten,
> aber nie der Lösungsweg!
>
> Danke im Vorraus!
> Mfg Sören
Gruss
MathePower
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