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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} \cos{(x)}, & \mbox{für } x \in [-\pi ,0[ \\ -\cos{(x)}, & \mbox{für } x\in [0,\pi] \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie die Fourierreihe! |
Abend.
Also f(x) ist ja punktsymmetrisch. [mm] \Rightarrow a_0 [/mm] und [mm] a_k=0
[/mm]
[mm] b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}
[/mm]
[mm] \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{1}{k}\integral{sin(x)\cos(kx)}dx
[/mm]
[mm] \integral{sin(x)\cos(kx)}dx=\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k}-\bruch{1}{k}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k^2}+\bruch{1}{k^2}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow(\bruch{k^2-1}{k^2})\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2-1}
[/mm]
[mm] b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}=-\bruch{2}{\pi}[(\bruch{k(-1)^k}{k^2-1})-(-\bruch{-k}{k^2-1})]=\bruch{-2(k(-1)^k-k)}{\pi(k^2-1)}
[/mm]
Also heißt die Fourierreihe: [mm] f(x)=\summe_{k=1}^{\infty}b_k(\sin(kx))
[/mm]
Also nächstes wollte ich das in die kompl. Form bringen. Stimmt das den bis jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(x)=\begin{cases} \cos{(x)}, & \mbox{für } x \in [-\pi ,0[ \\ -\cos{(x)}, & \mbox{für } x\in [0,\pi] \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Fourierreihe!
> Abend.
>
> Also f(x) ist ja punktsymmetrisch. [mm]\Rightarrow a_0[/mm] und
> [mm]a_k=0[/mm]
>
> [mm]b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{1}{k}\integral{sin(x)\cos(kx)}dx[/mm]
>
> [mm]\integral{sin(x)\cos(kx)}dx=\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k}-\bruch{1}{k}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k^2}+\bruch{1}{k^2}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow(\bruch{k^2-1}{k^2})\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2}[/mm]
Kleiner Fehler:
[mm] \left(\bruch{k^2-1}{k^2}\right)\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)\red{+}\sin(x)\sin(kx)}{k^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)\red{+}\sin(x)\sin(kx)}{k^2-1}[/mm]
Jetzt fällt dein Fehler raus, aber ein weiteres Vorzeichen ist falsch:
[mm]b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}=-\bruch{2}{\pi}[(\bruch{k(-1)^k}{k^2-1})-(-\bruch{\red{+}k}{k^2-1})]=\bruch{-2(k(-1)^k\red+k)}{\pi(k^2-1)}[/mm]
Für ungerade k ist [mm]b_k[/mm] gleich Null. Die letzte Formel gilt aber nür für [mm]k>1[/mm]. Für k=1 ergibt sich ein unbestimmter Ausdruch 0/0.
Viele Grüße
Rainer
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O.k. Danke erstmal für die Korrektur
Dann habe ich jetzt aber ein Problem, wenn [mm] b_1 [/mm] nicht definiert ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> O.k. Danke erstmal für die Korrektur
>
> Dann habe ich jetzt aber ein Problem, wenn [mm]b_1[/mm] nicht
> definiert ist, oder?
Ich habe nicht gesagt, dass es nicht definiert ist, sondern dass du es aus deiner endgültigen Formel nicht bestimmen kannst. Du hast bei der Herleitung einmal durch [mm]k^2-1[/mm] geteilt, das geht für den Fall k=1 natürlich nicht.
Du kannst aber direkt
[mm]b_1 = -\bruch{2}{\pi}\integral_0^\pi \sin x \cos x dx = -\bruch{1}{\pi}\integral_0^\pi \sin (2x) dx=0 [/mm]
ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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komplex dann: [mm] f(x)=\summe_{-\infty}^{\infty}\bruch{k(-1)^k+k}{\pi(k^2-1)}e^{jnx}?
[/mm]
Wenn ich kompl.->reell umwandeln will, gibt es ja [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{-n}.
[/mm]
Ist [mm] c_{-n} [/mm] einfach nur [mm] c_n [/mm] mit n->-n (hier nat. k)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo!
ja, [mm] c_{-n} [/mm] ist [mm] c_{n} [/mm] mit n durch -n ersetzt (bzw. k durch -k)
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