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| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourreihe von:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, ich noch mal ;)
hier ist mein Rechenweg für die an's:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der cosinus wird jetzt für Gerade n 1 und für ungerade -1, aber wie komme ich dadurch auf eine schöne Schreibweise für meine Fourier-Reihe? Stimmt das überhaupt was ich gerechnet habe?
Für die bn's habe ich etwas schöneres raus: n gerade 1/n und n ungerade -1/n. Das kann ich ja leicht ausdrücken und so den rechten Teil der Reihe durch [mm] (-1)^n*sin(nx)/n [/mm] schreiben, aber hier bin ich echt überfordert.
Kann mir jemand helfen? Fourreihen sind ja eigentlich nur Kampfrechnen, aber irgendwie habe ich Probleme damit :)
ciao, mike.
ps: Wenn ich eine 4-Periodische Funktion habe, muss ich dann bei den ans und bns von -2 bis 2 integrieren (Funktion ist da definiert, und 4-periodisch).. oder muss ich die Funktion in eine 2pi periodische Funktion umwandeln zuerst? Konkretes Beispiel: g(x)=xsin(x2pi/4)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> Berechnen Sie die Fourreihe von:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo, ich noch mal ;)
>
> hier ist mein Rechenweg für die an's:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Der cosinus wird jetzt für Gerade n 1 und für ungerade -1,
> aber wie komme ich dadurch auf eine schöne Schreibweise für
> meine Fourier-Reihe? Stimmt das überhaupt was ich gerechnet
> habe?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für die bn's habe ich etwas schöneres raus: n gerade 1/n
> und n ungerade -1/n. Das kann ich ja leicht ausdrücken und
> so den rechten Teil der Reihe durch [mm](-1)^n*sin(nx)/n[/mm]
> schreiben, aber hier bin ich echt überfordert.
Da meinst Du wohl eher:
[mm]b_{n}=\bruch{\left(-1\right)^{n}}{n}[/mm]
>
> Kann mir jemand helfen? Fourreihen sind ja eigentlich nur
> Kampfrechnen, aber irgendwie habe ich Probleme damit :)
>
> ciao, mike.
>
> ps: Wenn ich eine 4-Periodische Funktion habe, muss ich
> dann bei den ans und bns von -2 bis 2 integrieren (Funktion
> ist da definiert, und 4-periodisch).. oder muss ich die
> Funktion in eine 2pi periodische Funktion umwandeln zuerst?
> Konkretes Beispiel: g(x)=xsin(x2pi/4)
Allgemein ergeben sich die Koeffienten einer Fourierreihe zu:
[mm]\bruch{a_{0}}{2}[/mm] Mittelwert der Funktion f(x)
[mm]a_{n}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{T}{f(x) * \cos\left(n \omega x\right) \ dx}[/mm]
[mm]b_{n}=\bruch{2}{T}*\integral_{0}^{T}{f(x) * \sin\left(n \omega x\right) \ dx}[/mm]
,wobei [mm]\omega*T=2\pi[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo,
ja den sin(nx) habe ich schon geschrieben weil in der Fourier Reihe ja bn*sin(nx) steht. Für die bn's an sich habe ich das von dir geschriebene Ergebnis.
Eigentlich wollte ich nur wissen, ob man das Ergebnis dass ich für die an's ausgerechnete habe noch schöner Ausdrücken kann (wie halt in dem Fall bei den bn's).
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Hallo mikemodanoxxx,
> Hallo,
>
> ja den sin(nx) habe ich schon geschrieben weil in der
> Fourier Reihe ja bn*sin(nx) steht. Für die bn's an sich
> habe ich das von dir geschriebene Ergebnis.
>
> Eigentlich wollte ich nur wissen, ob man das Ergebnis dass
> ich für die an's ausgerechnete habe noch schöner Ausdrücken
> kann (wie halt in dem Fall bei den bn's).
Für die [mm]a_{n}[/mm]'s bekomme ich:
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\left(-\bruch{\cos\left(n \pi\right)}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}\right)[/mm]
Und das läßt sich noch etwas vereinfachen.
Gruß
MathePower
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Hm, Mist. Ich hatte eine zeitlang das n² unter dem Cosinus und irgendwie hab ichs später dann zu nem n gemacht aus irgendeinem Denkfehler :)
[mm] a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{2}{\pi n²}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
So? (Für n=1 aus dem hinteren Term rausgenommen)
[mm] =\bruch{2}{\pi} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}sin(nx)}{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi(2n+1)^{2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hinten fehlt er cos, sonst richtig
Grus leduart
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Jo.. danke. Jetzt hab ich mich verklickt und die Frage gilt wieder als offen, naja was solls.
Allerletzte Frage, jetzt zur Konvergenz.
Auf dem Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] existieren die links- und rechtsseiten Grenzwerte (auch für die Ableitung, weil das ja wieder eine Sinusfunktion/Cosinusfunktion ist), die Funktion ist somit glatt.
Die Funktion ist aber nicht stetig in x oder? Also meine Frage lautet: Ist bei diesem Stetigkeitsbegriff die Periode an sich gemeint oder muss man es auf dem Intervall betrachten auf dem f definiert ist (die Funktion geht von R -> R). In dem Fall würde die Reihe ja nur gegen [mm] \bruch{f(x+) + f(x-)}{2} [/mm] konvergieren und nicht gegen [mm] \bruch{f(x)}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Frage ist etwas unklar !
Deine Funktion ist genau in den ganzahligen ungeraden Vielfachen von pi unstetig. In diesen Punkten konvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetische Mittel des links- und rechtseitigen Grenwerts, also gegen pi/2.
In allen anderen Punkten x konvergiert die Fourierreihe gegen f(x)
FRED
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Ja danke, genau das wollte ich wissen.
Hatte es mir heute Nacht beim Einschlafen auch überlegt, dass das so sein müsste weil da ja ne Sprungstelle ist..
ciao, Mike.
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