Fourierreihe, Imaginärteil < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 11.06.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Entwickeln sie die Funktion [mm] f(x)=x-\pi [/mm] im Intervall [mm] [0,2\pi[ [/mm] in eine Fourierreihe. Zerlege sie diese in Real- und Imaginärteil un dzeigen sie, dass für [mm] x=\bruch{3\pi}{2} [/mm] die Leibnizsche Reihe [mm] \bruch{\pi}{2}=2*(1-\bruch{1}{3}+-...) [/mm] folgt |
Hallo,
ich bin im Moment etwas ratlos warum hier nach dem Imaginärteil gefragt wird.
Ich habe die Koeffizienten bestimmt, und dann die Frourierreihe und komme auf:
f(x)=-2*sin(x)-sin(2x)
Ich gehe davon aus, dass dies falsch ist, da ich ja kein Imaginärteil habe.
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
DANKE ;)
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Hallo Tobus,
> Entwickeln sie die Funktion [mm]f(x)=x-\pi[/mm] im Intervall
> [mm][0,2\pi[[/mm] in eine Fourierreihe. Zerlege sie diese in Real-
> und Imaginärteil un dzeigen sie, dass für [mm]x=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
> die Leibnizsche Reihe
> [mm]\bruch{\pi}{2}=2*(1-\bruch{1}{3}+-...)[/mm] folgt
> Hallo,
> ich bin im Moment etwas ratlos warum hier nach dem
> Imaginärteil gefragt wird.
> Ich habe die Koeffizienten bestimmt, und dann die
> Frourierreihe und komme auf:
>
> f(x)=-2*sin(x)-sin(2x)
>
> Ich gehe davon aus, dass dies falsch ist, da ich ja kein
> Imaginärteil habe.
Die Fourierreihe einer reellen Funktion kann ja wohl keinen Imaginärteil haben.
Grund ist vielmehr der, daß die Fourierreihe nicht abbrechend ist.
Hier mußt Du die Koeffizienten über die komplexe Form berechnen.
>
> Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
Nun, poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> DANKE ;)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | Tobus |
also meine bisherigen Schritte:
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*cos(x*k)+b_{k}*sin(k*x))
[/mm]
[mm] a_{0}=0 [/mm]
[mm] a_{k}=0 [/mm]
[mm] b_{1}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*sin(1*x) dx}=-2 [/mm]
[mm] b_{2}=-1 [/mm]
und das zusammen ergibt dann mein Ergebnis vom ersten Post.
Meinst du mit komplexer Form der Koeffizienten: [mm] c_{n}=\bruch{a_{n}+i*b_{n}}{2} [/mm] ?
Wie mache ich nun weiter ?
DANKE
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Hallo Tobus,
> also meine bisherigen Schritte:
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*cos(x*k)+b_{k}*sin(k*x))[/mm]
>
> [mm]a_{0}=0[/mm]
> [mm]a_{k}=0[/mm]
> [mm]b_{1}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*sin(1*x) dx}=-2[/mm]
>
> [mm]b_{2}=-1[/mm]
Hier musst Du schon alle Koeffizienten berechnen:
[mm]b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*sin(k*x) dx}[/mm]
>
> und das zusammen ergibt dann mein Ergebnis vom ersten
> Post.
>
> Meinst du mit komplexer Form der Koeffizienten:
> [mm]c_{n}=\bruch{a_{n}+i*b_{n}}{2}[/mm] ?
Ja.
>
> Wie mache ich nun weiter ?
In der komplexen Form sieht das so aus:
[mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*e^{-i*k*x} \ dx}[/mm]
, wobei dann
[mm]a_{k}=c_{+k}+c_{-k}, \ b_{k}=i*\left(c_{+k}-c_{-k}\right)[/mm]
ist.
>
> DANKE
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 11.06.2009 | | Autor: | Tobus |
Ah ok, vielen Dank schonmal für die Hilfe.
Ich habe nun die komplexen Faktoren berechnet:
[mm] c_{k}=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*e^{-i*k*x} \ dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}*i
[/mm]
und somit:
[mm] a_{k}=c_{+k}+c_{-k}=0
[/mm]
[mm] b_{k}=i*\left(c_{+k}-c_{-k}\right)=i*(\bruch{2}{k}*i)=\bruch{-2}{k}
[/mm]
Kann ich nun so weiter rechnen: ?
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*cos(x*k)+b_{k}*sin(k*x))
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{-2}{k}*sin(k*x))
[/mm]
Stimmt das soweit mal ?
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Hallo Tobus,
> Ah ok, vielen Dank schonmal für die Hilfe.
> Ich habe nun die komplexen Faktoren berechnet:
>
> [mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{(x-\pi)*e^{-i*k*x} \ dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k}*i[/mm]
>
> und somit:
>
> [mm]a_{k}=c_{+k}+c_{-k}=0[/mm]
>
> [mm]b_{k}=i*\left(c_{+k}-c_{-k}\right)=i*(\bruch{2}{k}*i)=\bruch{-2}{k}[/mm]
>
> Kann ich nun so weiter rechnen: ?
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*cos(x*k)+b_{k}*sin(k*x))[/mm]
> [mm]=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{-2}{k}*sin(k*x))[/mm]
>
> Stimmt das soweit mal ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Do 11.06.2009 | | Autor: | Tobus |
DANKE den Rest schaffe ich alleine ;)
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