Fourierreihe zu cos(x/2) < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR 2\pi [/mm] -periodisch, mit f(x)=cos(x/2) für [mm] |x|<=\pi. [/mm] Berechnen Sie die Fourierreihe von f. |
Hallo,
ich habe folgende Lösung und wüsste gerne, ob sie richtig ist.
Beh: Die Fourierreihe von f ist
f(x)= [mm] \bruch{4}{2\pi} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{\pi*n}sin(n\pi)cos(nx)
[/mm]
Der cos ist eine gerade Funktion, also ist [mm] b_n=0.
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(nx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})cos(nx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})cos(nx) dx}
[/mm]
Es gilt [mm] sin(\bruch{1x}{2})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}cos(\bruch{1x}{2}), [/mm] also [mm] 2sin(\bruch{1x}{2})' [/mm] = [mm] cos(\bruch{1x}{2})
[/mm]
Es ist sin(nx)'=n(cos(nx)), also [mm] \bruch{1}{n}sin(nx)'= [/mm] cos(nx) für n>=1.
D.h. für n>=1 ist [mm] a_n= \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})cos(nx) dx} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}(Was [/mm] kann man hier als Zeichen für die Stammfkt. [mm] nehmen?)2sin(\bruch{1x}{2}) \bruch{1}{n}sin(nx)
[/mm]
= (Grenzen [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] einsetzen) [mm] \bruch{1}{\pi}(2sin(\bruch{\pi}{2}) \bruch{1}{n}sin(n\pi)-2sin(\bruch{-\pi}{2}) \bruch{1}{n}sin(-n\pi))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}(2* 2sin(\bruch{\pi}{2}) \bruch{1}{n}sin(n\pi))
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi}(1* \bruch{1}{n}sin(n\pi))
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi}(\bruch{1}{n}sin(n\pi))
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})cos(nx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})cos(0*x) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2})*1 dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(\bruch{x}{2}) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}2sin(\bruch{1x}{2})
[/mm]
= (Grenzen [mm] einsetzen)\bruch{1}{\pi} (2sin(\bruch{\pi}{2})-2sin(\bruch{-\pi}{2}))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}2*2sin(\bruch{\pi}{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}4*1
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi}
[/mm]
LG regenschirm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein [mm] a_0 [/mm] ist richtig.
die [mm] a_n [/mm] dagegen nicht. sehe ich richtig, dass du die Stammfunktion von f'g' als f*g schreibst? dann leite mal sin(x/2)*sin(n*x) ab, aber bitte nach Produktregel!
Gruss leduart
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Hallo,
danke für deine Hilfe. Ich habe es jetzt hinbekommen.
LG regenschirm
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