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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Gegeben sei die [mm] \pi [/mm] periodische Funktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] x-> |sin(x) |
ı) Bestimmen sie die Punkte x [mm] \in \IR, [/mm] in denen die Fourierreihe von f konvergiert und entscheiden sie, ob die Grenzfunktion mit f übereinstimmt.
ii) Bestimmen Sie den Wert der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{1-(2n)^2} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei i nicht ganz klar.
i) Da f(x)=f(-x) ist die Funktion gerade und es gilt:
[mm] b_k=0 [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] k [mm] \ge [/mm] 1
weiterhin gilt
[mm] a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}|-cos(x)|_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi}*0=0
[/mm]
Für k [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
[mm] a_k=\integral_0^\pi{ |sin(x)|*cos(kx)dx}
[/mm]
Mit dem Hinweis folgt:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_0^\pi [/mm] (sin((k+1)x)-sin((k-1)x))dx
so meine sehr peinliche Frage ist jetzt bezüglich des Betrags.
Ich habe die ja jetzt einfach weggelassen. Hat der Betrag einen Einfluss auf das integrieren?
Ich habe jetzt nach langem rechnen als Stammfunktion folgendes raus:
[mm] a_k=\integral_0^\pi{|sin(x)|*cos(kx)dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{k*sin(x)*sin(kx)+cos(x)cos(kx)}{k^2-1}]_0^\pi
[/mm]
wenn der Betrag einen Einfluss hat, ist dies wahrscheinlich total falsch.
Lg und danke im Voraus
Laura
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Hallo Laura87,
> Gegeben sei die [mm]\pi[/mm] periodische Funktion [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] x->
> |sin(x) |
>
> ı) Bestimmen sie die Punkte x [mm]\in \IR,[/mm] in denen die
> Fourierreihe von f konvergiert und entscheiden sie, ob die
> Grenzfunktion mit f übereinstimmt.
>
> ii) Bestimmen Sie den Wert der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{1-(2n)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei i nicht ganz klar.
>
> i) Da f(x)=f(-x) ist die Funktion gerade und es gilt:
>
> [mm]b_k=0[/mm] für alle k [mm]\in \IN[/mm] k [mm]\ge[/mm] 1
>
> weiterhin gilt
>
> [mm]a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}|-cos(x)|_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi}*0=0[/mm]
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> Für k [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
>
> [mm]a_k=\integral_0^\pi{ |sin(x)|*cos(kx)dx}[/mm]
>
> Mit dem Hinweis folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_0^\pi[/mm] (sin((k+1)x)-sin((k-1)x))dx
>
> so meine sehr peinliche Frage ist jetzt bezüglich des
> Betrags.
>
> Ich habe die ja jetzt einfach weggelassen. Hat der Betrag
> einen Einfluss auf das integrieren?
> Ich habe jetzt nach langem rechnen als Stammfunktion
> folgendes raus:
>
>
> [mm]a_k=\integral_0^\pi{|sin(x)|*cos(kx)dx}[/mm]
> [mm]=[\bruch{k*sin(x)*sin(kx)+cos(x)cos(kx)}{k^2-1}]_0^\pi[/mm]
>
> wenn der Betrag einen Einfluss hat, ist dies wahrscheinlich
> total falsch.
>
In dem angegebenen Intervall ist [mm]\sin\left(x\right) \ge 0[/mm],
so daß der Betrag weggelassen werden kann.
> Lg und danke im Voraus
>
> Laura
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke für die schnelle Rückmeldung.
> >
> > weiterhin gilt
> >
> > [mm]a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}|-cos(x)|_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi}*0=0[/mm]
>
> >
>
>
> Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
Hier finde ich meinen Fehler irgendwie nicht
[mm] |-cos(\pi)|-|-cos(0)|=|-(-1)|-|-1|=1-1=0
[/mm]
wo ist hier mein denkfehler :-S
> > [mm]a_k=\integral_0^\pi{|sin(x)|*cos(kx)dx}[/mm]
> > [mm]=[\bruch{k*sin(x)*sin(kx)+cos(x)cos(kx)}{k^2-1}]_0^\pi[/mm]
>
> In dem angegebenen Intervall ist [mm]\sin\left(x\right) \ge 0[/mm],
>
> so daß der Betrag weggelassen werden kann.
>
>
Setze ich die Grenzen ein, erhalte ich
[mm] \bruch{0-1*cos(\pi*k)}{k^2-1}-\bruch{0+1}{k^2-1}=\bruch{-cos(\pi*k)-1}{k^2-1}
[/mm]
Ist das Korrekt?
Lg Esra
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Hallo Laura87,
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Rückmeldung.
>
>
>
> > >
> > > weiterhin gilt
> > >
> > > [mm]a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}|-cos(x)|_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi}*0=0[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das musst Du nochmal nachrechnen.
> >
>
>
> Hier finde ich meinen Fehler irgendwie nicht
>
> [mm]|-cos(\pi)|-|-cos(0)|=|-(-1)|-|-1|=1-1=0[/mm]
>
> wo ist hier mein denkfehler :-S
>
Die Stammfunktion stimmt nicht.
> > > [mm]a_k=\integral_0^\pi{|sin(x)|*cos(kx)dx}[/mm]
> > >
> [mm]=[\bruch{k*sin(x)*sin(kx)+cos(x)cos(kx)}{k^2-1}]_0^\pi[/mm]
> >
> > In dem angegebenen Intervall ist [mm]\sin\left(x\right) \ge 0[/mm],
>
> >
> > so daß der Betrag weggelassen werden kann.
> >
> >
>
> Setze ich die Grenzen ein, erhalte ich
>
> [mm]\bruch{0-1*cos(\pi*k)}{k^2-1}-\bruch{0+1}{k^2-1}=\bruch{-cos(\pi*k)-1}{k^2-1}[/mm]
>
> Ist das Korrekt?
>
Ja.
> Lg Esra
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 21.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
Guten Morgen,
>
> Die Stammfunktion stimmt nicht.
>
>
İch habe jetzt:
[mm] a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}*2=\bruch{4}{\pi}
[/mm]
ich denke das sollte jetzt stimmen...danke für deine Geduld 
somit ist die Fourierreihe:
[mm] \bruch{a_0}{2}\summe_{n=1}^{\infty}{a_k*cos(kx)}=\bruch{4}{2*\pi}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-cos(\pi*k)-1}{k^2-1}*cos(kx)
[/mm]
Lg Laura
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Hallo Laura87,
> Guten Morgen,
>
> >
> > Die Stammfunktion stimmt nicht.
> >
> >
>
> İch habe jetzt:
>
> [mm]a_0=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} |sin(x)|dx=\bruch{2}{\pi}*2=\bruch{4}{\pi}[/mm]
>
> ich denke das sollte jetzt stimmen...danke für deine
> Geduld
>
> somit ist die Fourierreihe:
>
> [mm]\bruch{a_0}{2}\summe_{n=1}^{\infty}{a_k*cos(kx)}=\bruch{4}{2*\pi}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-cos(\pi*k)-1}{k^2-1}*cos(kx)[/mm]
>
Hier meinst Du wohl:
[mm]\bruch{a_0}{2}\blue{+}\summe_{n=1}^{\infty}{a_k*cos(kx)}=\bruch{4}{2*\pi}}\blue{+}\summe_{\blue{k}=1}^{\infty}\bruch{-cos(\pi*k)-1}{k^2-1}*cos(kx)[/mm]
Nebenbei bemerkt, statt k muss hier 2k stehen,
da die gegebene Funktion die Periode [mm]\pi[/mm] hat.
> Lg Laura
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 21.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hey,
danke für die korrektur. Muss ich im letzten schritt überall k durch 2k ersetzen?
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Hallo Laura87,
> Hey,
>
> danke für die korrektur. Muss ich im letzten schritt
> überall k durch 2k ersetzen?
Alles ausser den Summationsindex.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
So,
nun endlich zur Grenzfunktion..was ich mir überlegt habe:
Da die Funktion stückweise stetig differenzierbar ist, erhalten wir, dass die Fourierreihe von f in jedem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert. Da die Funktion f in jedem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] stetig ist folgt, dass die Fourierreihe auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen f konvergiert. Die Grenzfunktion stimmt also mit f überein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 23.05.2013 | | Autor: | Infinit |
Das ist okay so. Nur bei Sprüngen in der Funktion konvergiert die Fourierreihe gegen den arithmetischen Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert an der Sprungstelle.
VG,
Infinit
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:25 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
bei ii) habe ich nur einen Ansatz (wobei ich mir auch nicht sicher bin)
[mm] f(0)=\bruch{4}{2\pi}\summe_{n=0}^\infty \bruch{-cos(\pi*2k)-1}{(2k)^2-1}=....=\bruch{4}{2\pi}\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{1-(2n)^2}
[/mm]
D.h.:
[mm] f(0)*\bruch{2\pi}{4}=\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{1-(2n)^2}
[/mm]
auch wenn das stimmen sollte, müsste ich noch die ... füllen. Ich habe leider keine Ahnung wie.
Falls das total falsch ist, bitte ich um einen Tipp.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 24.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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