Fouriertr. Beweis Integralbez. < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Di 11.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Die Fouriertransformierte eines Integrals von [mm] -\infty [/mm] bis t hat noch einen Zusatzterm.
Im meinem Skript steht (ohne Beweis.............):
[mm] \integral_{-\infty}^{t}{f(\tau)d\tau} [/mm] = [mm] \bruch{F(jw)}{jw} [/mm] + [mm] \pi*F(0)*\delta(w)
[/mm]
Ich kenne mich gut mit dem Stoff aus trotzdem komm ich nicht auf den rechten Term der rechten Seite der Gleichung. Mir ist bewusst, dass der Term von nöten ist wegen der (möglichen) Singularität für w = 0.
[mm] \bruch{df(t)}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{+\infty}{F(jw)*jw*e^{jw}}
[/mm]
Das ist sehr einfach zu zeigen - im Prinzip nur ableiten auf beiden Seiten.
Jetzt kann ich ja einfach [mm] \bruch{df(t)}{dt} [/mm] := g(t). Da f(t) [mm] \hat= [/mm] F(jw) und und [mm] \bruch{df(t)}{dt} \hat= [/mm] jw*F(jw) und somit wäre die Transformierte vom Integral von g(x) eben einfach ein durch jw teilen...
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Di 11.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Mir ist jetzt noch was eingefallen:
F(0) = Wert bei Frequenz 0 = Gleichanteil.
Ich schreibe also f(t) als w(t) + c, wobei c der Gleichanteil in f(t) ist.
Da [mm] 2*\pi*\delta(w) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{1*e^{-jwt}dt}
[/mm]
ist [mm] c*2*\pi*\delta(w) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{c*e^{-jwt}dt}
[/mm]
Das würde es eigentlich bis auf den Faktor 2 erklären. Frage: Wieso steht nur [mm] \pi*F(0)*\delta(w) [/mm] und nicht [mm] 2*\pi*F(0)*\delta(w)?
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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