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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | a > 0, f: [mm] \IR \to \IC
[/mm]
$f(x) := [mm] \frac{e^{-x^2/(2a^2)}}{\sqrt{2\pi}} \forall [/mm] x [mm] \in \IR$
[/mm]
Gesucht: Fouriertransormierte
[mm] $\hat{f} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\IR^n} [/mm] f(x) [mm] e^{ixp} [/mm] dx$
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Hallo.
Ich habs mal so probiert
[mm] $\hat{f} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\IR^n}\frac{e^{-x^2/(2a^2)}}{\sqrt{2\pi}} [/mm] * [mm] e^{ixp} [/mm] dx$
[mm] $=\frac{1}{2\pi}\int e^{-x^2/(2a^2)+ixp} [/mm] dx$
[mm] $=\frac{1}{2\pi}\int e^{(2a^2ixp-x^2)} [/mm] dx$
[mm] $=\frac{1}{2\pi}\int e^{x(2a^2ip-x)} [/mm] dx$
Ich habe das Gefühl ich bin aufm Holzweg, weil ich in so einem Fall doch irgendwie [mm] \int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} [/mm] = [mm] \sqrt{\pi} [/mm] benutzen müssen?Kann jemand helfen?
Savoyen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 17.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a > 0, f: [mm]\IR \to \IC[/mm]
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> [mm]f(x) := \frac{e^{-x^2/(2a^2)}}{\sqrt{2\pi}} \forall x \in \IR[/mm]
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> Gesucht: Fouriertransormierte
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> [mm]\hat{f} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\IR^n} f(x) e^{ixp} dx[/mm]
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> Hallo.
> Ich habs mal so probiert
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> [mm]\hat{f} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\IR^n}\frac{e^{-x^2/(2a^2)}}{\sqrt{2\pi}} * e^{ixp} dx[/mm]
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> [mm]=\frac{1}{2\pi}\int e^{-x^2/(2a^2)+ixp} dx[/mm]
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> [mm]=\frac{1}{2\pi}\int e^{(2a^2ixp-x^2)} dx[/mm]
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> [mm]=\frac{1}{2\pi}\int e^{x(2a^2ip-x)} dx[/mm]
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> Ich habe das Gefühl ich bin aufm Holzweg, weil ich in so
> einem Fall doch irgendwie [mm]\int^\infty_{-\infty} e^{-x^2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{\pi}[/mm] benutzen müssen?Kann jemand helfen?
Tipp: quadratische Ergänzung im Exponenten und dann die Substitution [mm]x\mapsto x+ipa^2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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