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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo E-Techniker!
Gegeben ist das folgende Signal s(t):
[mm] s(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}t+1, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}t+5, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ -1, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aufgabe: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte [mm] S(j\omega)=\mathcal{F}\{s(t)\}
[/mm]
Mein Lösungsversuch:
1.) Die Ableitung der Funktion lautet wie folgt:
[mm] \bruch{d s(t)}{dt}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
2.) Die Fouriertransformierten der beiden Funktionsteile, welche [mm] \not=0 [/mm] sind, berechnen sich über das Fourier-Integral zu:
[mm] \integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{\bruch{4}{T}*e^{-j\omega t}dt}=\bruch{4}{j\omega T}*e^{j\omega \bruch{T}{2}}-\bruch{4}{j\omega T}
[/mm]
[mm] \integral_{T}^{\bruch{3}{2}T}{\bruch{4}{T}*e^{-j\omega t}dt}=\bruch{4}{j\omega T}*e^{-j\omega T}-\bruch{4}{j\omega T}*e^{-j\omega\bruch{3T}{2}}
[/mm]
Durch Anwendng des Differentationssatzes gemäß
[mm] \bruch{d^{n}}{d t^{n}}x(t)\Leftarrow\{Fouriertransformation\}\Rightarrow(j\omega)^{n}X(j\omega)
[/mm]
erhält man schließlich die gesuchte Fourier-Transformierte zu
[mm] S(j\omega)=\bruch{4}{\omega^{2}T}[1-e^{j\omega\bruch{T}{2}}-e^{-j\omega T}+e^{-j\omega\bruch{3T}{2}}]
[/mm]
Über eine Korrekturlesung würde ich mich sehr freuen!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
Deine Rechnung ist fast okay. Durch die Differentiation ist Dir jedoch der Gleichanteil des Signals durch die Lappen gegangen. Hier kommt noch ein Term [mm] \pi F(0) \delta (\omega) [/mm] dazu. Das Zeitsignal kannst Du Dir aus dieser Trapezfunktion zusammengesetzt denken, die bei 0 und 2 ihre Maximalwerte besitzt und die von einer konstanten -1 überlagert wird. Das ist gerade der Anteil, der Dir durch das Differenzieren verloren gegangen war.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo Marcel,
> Deine Rechnung ist fast okay. Durch die Differentiation ist
> Dir jedoch der Gleichanteil des Signals durch die Lappen
> gegangen. Hier kommt noch ein Term [mm]\pi F(0) \delta (\omega)[/mm]
> dazu.
Könntest du mir eventuell zeigen, an welcher Stelle der Rechnung dieser Faktor integriert werden müsste?
> Das Zeitsignal kannst Du Dir aus dieser
> Trapezfunktion zusammengesetzt denken, die bei 0 und 2 ihre
> Maximalwerte besitzt und die von einer konstanten -1
> überlagert wird. Das ist gerade der Anteil, der Dir durch
> das Differenzieren verloren gegangen war.
> Viele Grüße,
> Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Da muss ich leider passen, denn dies geht in die Funktionentheorie rein und in die Behandlung von Distributionen, die leider micht immer so gutmütig wie Funktionen sind. Schaue doch mal in ein Buch über Systemtheorie rein. Herr Unbehauen hat da beispielsweise vor ein paar Jahrzehnten schon ein schönes Buch darüber geschrieben. Dort findet man in der vierten Auflage auf Seite 169 die Erklärung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Das heisst, man kann in diesem Fall ohne erweiterte Kenntnisse aus der Funktionentheorie nicht über den Differentationssatz argumentieren? Ich hätte jetzt gedacht, dass ich mich irgendwo verrechnet hätte. Dem ist nicht so?
Hattest du den Fehler durch die von dir angesprochene Überlagerung elementarer Funktionen erkannt oder ist dir nicht irgendwo ein Rechenfehler in meiner Rechnung aufgefallen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Als ich mir die Funktion mal aufmalte, fiel mir sofort der Bias auf, daher ja auch mein Kommentar mit der Überlagerung der beiden Funktionen. Die eine Funktion ist konstant -1, da muss im Frequenzbereich ein Dirac auftauchen. Durch die Ableitung geht dies naturgemäß verloren. Wenn man dies vermeiden will, so bleibt wohl nur noch die Rechnung über den von mir vorgeschlagenen Weg.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Dann stellt sich für mich die folgende Frage:
Wann ist der Differentationssatz unbedenklich anwendbar und wann nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Das ist schwer zu beantworten, da es nun mal auf das Aussehen der Kurve ankommt. Bei normalen. sprich stetigen, Funktionen sollte kein Problem auftauchen. Bei zusammengesetzten Teilfunktionen muss man aufpassen, wie Du ja jetzt auch gesehen hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Kann man denn sagen, dass dieses Problem mit dem Puls bei allen zeitlich nicht begrenzten Pulsen vorliegt? Dabei denke ich beispielsweise an [mm] 2\sigma(t) [/mm] und sgn(t).
Wenn das der Fall wäre, könnte man ja im Prinzip, verknüpfend mit deinem Mittelwert-Hinweis, sagen, dass man einfach einen Dirac-Puls der Form
[mm] m*2\pi\delta(\omega), [/mm] mit [mm] m=\limes_{T\rightarrow\infty}\bruch{1}{2T}\integral_{-T}^{T}{x(t) dt}
[/mm]
an die Transformierte addiert.
Oder wäre das nicht allgemeingültig?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Die Pulse, beziehungsweise ihre Überlagerung, können natürlich dabei so liegen, dass das Signal einen Gleichanteil besitzt, der drückt sich dann in der Größe [mm] F(0) [/mm] aus. Dazu könnte man Deine Gleichung benutzen, denn die macht nichts weiter als den Gleichanteil zu bestimmen. Ob dies rechnerisch günstiger ist als einfach darauflos zu rechnen, das hängt von der zu untersuchenden Funktion ab. Bei einer derart zusammengesetzten Funktion, wie Du sie hattest, erkennt man dies wohl nicht unbedingt auf den ersten Blick und das Integral muss zunächst mal berechnet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo E-Techniker!
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> Gegeben ist das folgende Signal s(t):
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> [mm]s(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}t+1, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}t+5, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ -1, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}[/mm]
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> Aufgabe: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte
> [mm]S(j\omega)=\mathcal{F}\{s(t)\}[/mm]
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>
> Mein Lösungsversuch:
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>
> 1.) Die Ableitung der Funktion lautet wie folgt:
>
>
> [mm]\bruch{d s(t)}{dt}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t\in(\infty,-\bruch{T}{2}] \mbox{} \\ \bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[-\bruch{T}{2},0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[0,T) \mbox{} \\ -\bruch{4}{T}, & \mbox{für } t\in[T,\bruch{3T}{2}) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } t\in[\bruch{3T}{2},\infty) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> 2.) Die Fouriertransformierten der beiden Funktionsteile,
> welche [mm]\not=0[/mm] sind, berechnen sich über das
> Fourier-Integral zu:
>
>
> [mm]\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{\bruch{4}{T}*e^{-j\omega t}dt}=\bruch{4}{j\omega T}*e^{j\omega \bruch{T}{2}}-\bruch{4}{j\omega T}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{T}^{\bruch{3}{2}T}{\bruch{4}{T}*e^{-j\omega t}dt}=\bruch{4}{j\omega T}*e^{-j\omega T}-\bruch{4}{j\omega T}*e^{-j\omega\bruch{3T}{2}}[/mm]
>
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>
> Durch Anwendng des Differentationssatzes gemäß
>
>
> [mm]\bruch{d^{n}}{d t^{n}}x(t)\Leftarrow\{Fouriertransformation\}\Rightarrow(j\omega)^{n}X(j\omega)[/mm]
>
>
>
> erhält man schließlich die gesuchte
> Fourier-Transformierte zu
>
>
> [mm]S(j\omega)=\bruch{4}{\omega^{2}T}[1-e^{j\omega\bruch{T}{2}}-e^{-j\omega T}+e^{-j\omega\bruch{3T}{2}}][/mm]
Mit Hilfe der Erkenntnisse aus dieser Diskussion würde ich dann die Aufgabe wie folgt zu Ende bringen:
aus [mm] m=\limes_{T\rightarrow\infty}\bruch{1}{2T}\integral_{-T}^{T}{s(t) dt} [/mm]
errechne ich den Gleichanteil zu
[mm] m=\limes_{T\rightarrow\infty}\bruch{1}{2T}[\integral_{-\bruch{T}{2}}^{0}{\bruch{4}{T}t+1 dt}+\integral_{0}^{T}{ dt}+\integral_{T}^{\bruch{3}{2}T}{-\bruch{4}{T}t+5 dt}]
[/mm]
[mm] \Rightarrow m=\limes_{T\rightarrow\infty}\bruch{1}{2T}[0+T+0]=\bruch{1}{2}
[/mm]
Für den zu addierenden Puls erhält man somit
[mm] \bruch{1}{2}*2\pi\delta(\omega)=\pi\delta(\omega)
[/mm]
So lautet meine Fourier-Transformierte schließlich
[mm] S(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\bruch{4}{\omega^{2}T}[1-e^{j\omega\bruch{T}{2}}-e^{-j\omega T}+e^{-j\omega\bruch{3T}{2}}]
[/mm]
Können wir uns darauf einigen?
Gruß, Marcel
> Über eine Korrekturlesung würde ich mich sehr freuen!
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>
>
> Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist doch okay. Wie gesagt, ob diese Berechnungsmethode einfacher ist als eine direkte Fouriertransformation der vorgegebenen Zeitfunktion, das hängt von der Form der Funktion ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank jedenfalls. 
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