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Fouriertransformation: charakteristische Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Do 15.11.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Sei $a>0$.

Zeige [mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=2a\mbox{sinc}(2ax)$, [/mm]  wobei [mm] $\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$. [/mm]

Mein Problem ist folgendes:

Ich habe die Fouriertransformation ausgerechnet (wobei ich die Eulerformel benutzt habe) und bin gekommen auf

[mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}$. [/mm] Ich denke, dass dies richtig ist.

Ich sehe aber nicht, inwiefern dies nun identisch mit [mm] $2a\mbox{sinc}(2ax)$ [/mm] ist. Kann das jemand sehen und mir vllt. erklären?

        
Bezug
Fouriertransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Do 15.11.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]a>0[/mm].
>  
> Zeige [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=2a\mbox{sinc}(2ax)[/mm],  wobei
> [mm]\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}[/mm].
>  Mein Problem ist
> folgendes:
>  
> Ich habe die Fouriertransformation ausgerechnet (wobei ich
> die Eulerformel benutzt habe) und bin gekommen auf
>  
> [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}[/mm].
> Ich denke, dass dies richtig ist.
>  
> Ich sehe aber nicht, inwiefern dies nun identisch mit
> [mm]2a\mbox{sinc}(2ax)[/mm] ist. Kann das jemand sehen und mir vllt.
> erklären?

Zeig mal Deine Rechnungen !!

FRED


Bezug
                
Bezug
Fouriertransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Do 15.11.2012
Autor: mikexx

Okay, gerne.

[mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}e^{-itx}\, [/mm] dt$

Dann: [mm] $e^{-itx}=\cos(tx)-i\cdot\sin(tx)$, [/mm] also oben weiter mit

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}\cos(tx)\, dt-i\cdot\underbrace{\int\limits_{-a}^{a}\sin(tx)\, dt}_{=0}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Fouriertransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Do 15.11.2012
Autor: fred97


> Okay, gerne.
>  
> [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}e^{-itx}\, dt[/mm]
>  
> Dann: [mm]e^{-itx}=\cos(tx)-i\cdot\sin(tx)[/mm], also oben weiter
> mit
>  
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}\cos(tx)\, dt-i\cdot\underbrace{\int\limits_{-a}^{a}\sin(tx)\, dt}_{=0}[/mm]
>  
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}[/mm]

ich glaube zu wissen, woran das liegt.

Die Def. der Fouriertrafo ist in der Literatur nicht einheitlich ! Manchmal findet man das:



  $  [mm] \mathcal{F}(f)(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\IR^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} [/mm] x$,

und manchmal das:


[mm] $\mathcal{F}(f)(t) [/mm] = [mm] \int_{\IR^n} f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} [/mm] x $

Der Aufgabensteller hat wohl nicht die Def. benutzt, die Du verwendet hast.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Fouriertransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Do 15.11.2012
Autor: mikexx

danke, damit rechne ich es jetzt nochmal aus :-)

Bezug
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