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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(t)=\sigma(t-a)-\sigma(t-b)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } a \le t \le b \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie durch Fouriertransformation von [mm]t*f(t)[/mm] einerseits und Differentiation von [mm] F(\omega) [/mm] andererseits, dass die folgende Korrespondenzregel gilt:
[mm]t*f(t)[/mm] [mm] \circ [/mm] - ● [mm] i*F'(\omega) [/mm] mit [mm] F(\omega)=\mathcal{F}(f(t)). [/mm] |
Hallo,
erstmal bräuchte ich Hilfe beim Übersetzen der Aufgabe. Ich tappe mich mal schrittweise an die Aufgabe heran:
Schritt 1)
Ich soll die Fouriertransformation von t*f(t) durchführen. Das heißt ja eigentlich nichts anderes als folgendes Integral zu lösen:
[mm] F(\omega)=\integral_{-\infty}^{\infty}t*f(t)*e^{-j*\omega*t}dt
[/mm]
und das ergibt sich aus dem Intervall von f(t) zu
[mm] F(\omega)=\integral_{a}^{b}t*1*e^{-j*\omega*t}dt
[/mm]
Ist das Integral der Fourier-Transformierten so richtig aufgestellt?
Schritt 2)
Ich verstehe es so, dass ich die Fouriertransformierte aus Schritt 1 hier im 2. Schritt ganz normal ableiten soll!?
Schritt 3)
Wir haben als Hilfsmittel zu dieser Aufgabe eine Korrespondenzen-Tabelle bekommen. Dort ist folgender Eintrag, passend zu obiger Funktion:
Originalbereich: [mm] \sigma(t-a)-\sigma(t-b)
[/mm]
Bildbereich: [mm] i*\bruch{e^{-i*b*\omega}-e^{-i*a*\omega}}{\omega}
[/mm]
Ich soll nun also zeigen, dass [mm] i*F'(\omega) [/mm] gleich diesem angegebenen Bildbereich entspricht? Also dass
[mm] F'(\omega)=\bruch{e^{-i*b*\omega}-e^{-i*a*\omega}}{\omega}
[/mm]
Das wäre dann schon die Lösung?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Di 14.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Auch wenn Fälligkeit abgelaufen, bin ich weiterhin an einer Antwort interessiert.
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
ja, das ist der Lösungsweg und man muss ein bisschen hin und her rechnen.
Als kleine Anschubhilfe habe ich Dir das Fourierintegral schon mal hier gelöst, das Ableiten im Frequenzbereich ist etwas arbeitsaufwändig, wie ich gerne zugebe. Du siehst an der Fourierintegrierten aber schon, dass die Struktur wohl stimmt:
[mm] \int_a^b t e^{-j \omega t} \, dt = \bruch{e^{-j \omega t}}{- \omega^2} (-j \omega -1)|_a^b [/mm]
Die rechte Seite lässt sich noch ein bisschen umschreiben durch Herausziehen des Minuszeichens aus dem Klammerausdruck und man bekommt
[mm] [\bruch{e^{-j \omega b}}{\omega^2} - \bruch{e^{-j \omega a}}{\omega^2}] \cdot (1 + j \omega) [/mm]
Dann kommt das etwas unschöne Ableiten mit Produkt- und Quotientenregel.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Hallo Infinit,
danke für deine Antwort. So hatte ich es letztendlich dann auch gemacht. Man muss sich bei solchen Aufgaben sehr auf die korrekte Klammersetzung und auf die Vorzeichen konzentrieren, sonst landet man schnell woanders beim Ergebnis. Aber das Prinzip ist auf jeden Fall klar geworden!
Gruß, Andreas
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