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Fouriertransformation Sinc(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Di 06.12.2011
Autor: qsxqsx

Hallo!,

Die (Rück)fouriertransformierte der Rechteckfuntkion ist die Sinc Funktion [mm] \bruch{sin(w*t)}{t}. [/mm] Das ist leicht einzusehen indem man die Rechteckfunktion fouriertransformiert.

[mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{rect(w)*e^{jwt}dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-w_{grenz}}^{w_{grenz}}{e^{jwt}dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{jt} [/mm] = [mm] \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} [/mm]

Jetzt wollt ich aber gerne das umgekehrte zeigen, nämlich die Fouriertransformierte der Sinc-Funktion explizit berechnen. Leider gelingt mir das nicht:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} *e^{-jwt}dt} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2*i*\pi*t}*e^{-jwt}dt [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jt(w_{grenz}-w)}-e^{-jt(w_{grenz}+w)}}{2*i*\pi*t}dt [/mm] = ...
Mit Partieller Integration hab ich schon alles mögliche Versucht, erfolglos.

Danke für einen Tipp!

Grüsse

        
Bezug
Fouriertransformation Sinc(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Mi 07.12.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo!,
>  
> Die (Rück)fouriertransformierte der Rechteckfuntkion ist
> die Sinc Funktion [mm]\bruch{sin(w*t)}{t}.[/mm] Das ist leicht
> einzusehen indem man die Rechteckfunktion
> fouriertransformiert.
>
> [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{rect(w)*e^{jwt}dw}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-w_{grenz}}^{w_{grenz}}{e^{jwt}dw}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{jt}[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t}[/mm]
>  
> Jetzt wollt ich aber gerne das umgekehrte zeigen, nämlich
> die Fouriertransformierte der Sinc-Funktion explizit
> berechnen. Leider gelingt mir das nicht:
>  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} *e^{-jwt}dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2*i*\pi*t}*e^{-jwt}dt[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jt(w_{grenz}-w)}-e^{-jt(w_{grenz}+w)}}{2*i*\pi*t}dt[/mm]
> = ...
> Mit Partieller Integration hab ich schon alles mögliche
> Versucht, erfolglos.

Das Exponentialintegral lässt sich ja auch nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Schreibe

[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} *e^{-jwt}dt} = \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} (\cos(wt)-i\sin (wt)) dt = 2 \integral_0^{\infty} \bruch{\sin(w_{grenz}*t)\cos (wt)}{\pi*t} dt [/mm]

weil der Realteil des Integranden eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist.

Den Zähler formst du in eine Summe zweier Sinusfunktionen um, dann hast du eine Summe zweier Integrale der Form

[mm] \integral_0^\infty \bruch{\sin(at)}{t} dt = \mathop{\mathrm{sgn}}(a) \integral_0^\infty \bruch{\sin(t)}{t} dt = \bruch{\pi}{2}\mathop{\mathrm{sgn}}(a) [/mm] .

(siehe z.B. []hier über den Integralsinus) .

  Viele Grüße
    Rainer


Bezug
                
Bezug
Fouriertransformation Sinc(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:51 Do 08.12.2011
Autor: qsxqsx

Hallo Rainer,

Herzlichen Dank!

Grüsse

Bezug
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