Frage: Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:35 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Reilly |
Ich hab ein großes Problem:
Wie berechnet man die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 4 }
[/mm]
Das Problem besteht vor allem darin, dass die Aufgabe in einer Altklausur ohne Taschenrechner erledigt werden soll, und ich damit ein Problem
bei der Berechnung der Eigenvektoren mittels dem Gausschen Algorithmus habe. Hat jemand einen Vorschlag?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich hoffe, das ich dir gut helfen kann, weil ich manchmal auch ein paar Probleme mit Eigenvektoren habe.
Also ich berechne immer zuerst die Determinatne der Matrix, weil man damit später die Eigenwerte (ich kürz die im Weiteren mit EW ab) kontrollieren kann.
det(Matrix) = 2*4 - (-1)*(-1) = 7
Nun stellt man das Charakteristische Polynom auf. Das Zeichen dafür ist so ein komisches grischiches X, ich benutze dafür einfach mal ein ganz normles. Für dieses Polynom veränderst du die Matrix ein wenig, und zwar subtrahierst du von jeder Zahl in der Hauptdiagonalen die Unbekannte [mm] \lambda. [/mm] Und davon dann die Determinante.
X = [mm] \pmat{ 2-\lambda & -1 \\ -1 & 4-\lambda } [/mm]
= [mm] (2-\lambda)*(4-\lambda) [/mm] - (-1)*(-1)
= [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 7
Die Nullstellen dieses Polynoms ergeben die EW:
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 7 = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = 3 + [mm] \wurzel{2} \approx [/mm] 4,4142
[mm] \Rightarrow \lambda_{2} [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{2} \approx [/mm] 1,5858
Wenn man jetzt die beiden EW miteinander multipliziert, dann sollte eigentlich die Determinante rauskommen.
4,4142 * 1,5858 = 7,000038
Passt doch.
So, nun zu den Eigenvektoren (im Folgenden kürz ich die mit EV ab).
Du musst zu jedem EW die EV berechnen. Das machst du, in dem du die EW jeweils in deine Matrix mit dem [mm] \lambda [/mm] einsetzt. Damit stellst du dann ein Gleichungssystem auf, in dem auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen nur Nullen stehen.
Erstmal für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 + [mm] \wurzel{2}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 - (3 + \wurzel{2}) & -1 & | 0 \\ -1 & 4 - (3 + \wurzel{2}) & | 0} [/mm]
Das Ganze jetzt erstmal vereinfachen:
[mm] \pmat{ -1 - \wurzel{2} & -1 & | 0 \\ 1 - \wurzel{2} & -1 &| 0} [/mm]
Um die EV zu bestimmen, muss aus irgendeinem Grund immer mindestens eine Zeile des Gleichungssystems wegfallen, weil man später wählen muss.
So, ab jetzt hab ich leider nur noch Vermutungen parat. Also ich würde jetzt die erste Zeile mit (1 - [mm] \wurzel{2}) [/mm] multiplizieren und die zweite mit (-1). Das sieht dann bei mir so aus:
[mm] \pmat{ (-1 - \wurzel{2})*(1 - \wurzel{2}) & (-1)*(1 - \wurzel{2}) & | 0 \\ (-1)*(-1) & (-1)*(1 - \wurzel{2}) &| 0} [/mm]
Der erste Wert in der ersten Zeile ist 1. Wenn ich jetzt die zweite Zeile von der ersten abziehe, erhalte ich so was:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & | 0 \\ 1 & 0 & | 0} [/mm]
So, jetzt ist ja die erste Zeile weggefallen. Ich schreib den Rest jatzt mal als normales Gleichungssystem:
1. 0x + 0y = 0
2. 1x + 0y = 0
------------------
2. x = 0
Da man nix für y hat, darf man y frei wählen.
Also wähle y = [mm] \alpha [/mm] für [mm] \alpha \in \IR, [/mm] z.B. y = 1
Dann hätte man folgenden EV: [mm] v_{1} [/mm] = t * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] für t [mm] \in \IR
[/mm]
Ich glaube, du kannst statt der 1 auch das [mm] \alpha [/mm] in den Vektor schreiben, aber ich bin mir nicht sicher.
Ach ja, da man gewählt hat, muss man auch immer einen Parameter vor den Vektor schreiben.
So, das wäre dann der erste EV gewesen. der zweite funktioniert eigentlich genauso, nur das du du dann in die Matrix den zweiten EW einsetzen musst. Zur Probe, ob die EV richtig sind: Sie müssen auf jeden Fall linear unanhängig sein.
So, ich hoffe, das ich dir weiterhelfen konnte, und vor allem auch, dass das so alles richtig ist. Viel Glück bei der Klausur.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Reilly |
Vielen Dank Nadine. Der Ansatz ist echt gut.
Ich hab da leider eine Ungereimtheit entdeckt:
> So, ab jetzt hab ich leider nur noch Vermutungen parat.
> Also ich würde jetzt die erste Zeile mit (1 - [mm]\wurzel{2})[/mm]
> multiplizieren und die zweite mit (-1). Das sieht dann bei
> mir so aus:
>
> [mm]\pmat{ (-1 - \wurzel{2})*(1 - \wurzel{2}) & (-1)*(1 - \wurzel{2}) & | 0 \\ (-1)*(-1) & (-1)*(1 - \wurzel{2}) &| 0}[/mm]
>
> Der erste Wert in der ersten Zeile ist 1. Wenn ich jetzt
> die zweite Zeile von der ersten abziehe, erhalte ich so
> was:
und hier ist glaube ich ein fehler: Es kommt nämlich dann nicht diese Matrix raus
[mm]\pmat{ 0 & 0 & | 0 \\ 1 & 0 & | 0 }[/mm]
sondern
[mm]\pmat{ 0 & 0 & | 0 \\ 1 & (-1+ \wurzel{2}) & | 0 }[/mm]
(wenn ich mich nicht verrechnet hab.
und damit als Gleichungssystem
0x+0y=0
[mm] 1x+(-1+\wurzel{2})y=0
[/mm]
Und hier liegt dann wieder ein Problem. In der Klausur darf nicht mit Taschenrechner gerechnet werden und deshalb stört die Wurzel ungemein.
(Die Aufgabe kam bisher in jeder Klausur dran.) Also, wie bekomme ich die Wurzel weg?
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Hui, also erstmal hab ich in meiner erste Antwort gerad einen Matrix-positions-Dreher gesehen:
[mm] \pmat{ -1 - \wurzel{2} & -1 & | 0 \\ 1 - \wurzel{2} & -1 &| 0}
[/mm]
müsste eigntlich so heißen:
[mm] \pmat{ -1 - \wurzel{2} & -1 & | 0 \\ -1 & 1 - \wurzel{2} & | 0}
[/mm]
aber ich schätze mal, dass du das gemerkt hast *sorry*
zu der Matrix:
Stimmt, du hast hast Recht, ich hab den Term beim subtrahieren versehentlich zweimal wegsubtrahiert.
Hmm, eine genaue Idee, das weiter zu berechnen hab ich auch nicht, aber vielleicht kann man es ja so machen:
Bei uns in den Rechnungen kam es oft vor, dass man eine Variable durch eine andere ausgedrückt hat, z.B. x = 2y, wähle y = 1 --> x = 2*1 = 2 und hatte dann den EV: t * [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Das könnte man ja hier auch mal probieren:
1x + (-1 + [mm] \wurzel{2})y [/mm] = 0
x + (-1 + [mm] \wurzel{2})y [/mm] = 0
x = - (-1 + [mm] \wurzel{2})y
[/mm]
x = 1 - [mm] \wurzel{2}y
[/mm]
nun könnte man ja wählen:
Wähle y = /wurzel{2}
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1 - /wurzel{2} * /wurzel{2} = 1 - 2 = -1
Dann hätte man den EV [mm] v_{1} [/mm] = t * [mm] \vektor{-1 \\ \wurzel{2}}
[/mm]
Also wie gesagt, das ist nur eine Idee, ich hab absolut keine Ahnung, ob man das so machen kann, und ob das so zum Ziel führt.
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Reilly |
Vermutlich ist das eine Lösung. Vielen Dank.
LG, Rüdiger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Reilly |
Ach, wieder ein Fehlerchen  .
x=-(-1+ [mm] \wurzel{2})y
[/mm]
liefert
nicht x=1- [mm] \wurzel{2}y
[/mm]
sondern
x=1y - [mm] \wurzel{2}y
[/mm]
naja, dann müsste man halt wieder raten.
für y = [mm] \wurzel{2} [/mm] erhält man dann x= [mm] \wurzel{2} [/mm] - 2
Naja, nach dem Normieren müsste dass doch passen, oder? Aber ob raten erlaubt ist?
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Hi.
Also das was du als Raten bezeidchnest haben wir in der Vorlesung immer als Wählen bezeichnet und es auch immer so gemacht.
Deshalb muss man dann ja auch nachher einen Parameter vor den Vektor schreiben, weil es ja Vielfache sind. Wenn du z.B. x wählen kannst, dann kannst du z.B. 1 wählen, du kannst aber auch 2 oder 3 wählen. Deshalb musst du den Parameter davor schreiben, weil 2, 3 usw. sind ja alle ein Vielfaches von 1.
Raten / Wählen scheint also erlaubt zu sein.
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Hi,
wenn du die Matrix $ [mm] \pmat{ -1 - \wurzel{2} & -1 & | 0 \\ -1 & 1 - \wurzel{2} & | 0} [/mm] $ hast kannst du doch einfach durch Gauß (erste Zeile [mm] *(1-\wurzel{2}) [/mm] auf die Gestalt [mm] \pmat{-1 - \wurzel{2} & -1 & | 0 \\ 2 & 0 & |0} [/mm] bringen, dann hast du den Vektor: [mm] \vektor{0\\-1}
[/mm]
oder nicht?
LG
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hi Britta.
Aber wenn du die erste Zeile mit [mm] (1-\wurzel{2}) [/mm] multiplizierst, warum bleibt sie dann in der Ergebnismatrix völlig unverändert?
Kannst du vielleicht mal deine Zwischenschritte beifügen?
@Rüdiger: Sorry für den erneuten Rechenfehler 
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Hi,
das ist der ganz normale Gauß Algorithmus,
ich addiere einfach das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, dabei verändere ich die eine Zeile ja nicht. Es gibt da auch keine großen Zwischenschritte, ich nehme einfach [mm] (1-\wurzel{2})I [/mm] + II
LG
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Ja klar. Aber wenn du nun die erste Zeile mit [mm] (1-\wurzel{2}) [/mm] multiplizierst erhälst du doch folgendes:
1. (-1 - [mm] \wurzel{2}) [/mm] * [mm] (1-\wurzel{2}) [/mm] = -1 - [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] + 2 = 1
Und wenn du das nun zu der zweiten Zeile dazuaddierst (also -1 + 1) dann erhälst du aber 0 und nicht 2.
Meine Matrix lautet nun: [mm] \pmat{ -1-\wurzel{2} & -1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Und dann fällt die untere Zeile weg.
Es bleibt also [mm] (-1-\wurzel{2})x [/mm] - 1y = 0
Und das muss man doch nun so umformen, dass man eine Variable wählen kann, oder nicht?
LG, Dino
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nadine!
Ja, das kann man durchaus so machen.
Aber alternativer (und einfacher) geht es doch so:
Gesucht ist ein Vektor, der auf dem ersten Zeilenvektor senkrecht steht. Vertausche also einfach dessen Komponenten und ändere genau eines der beiden Vorzeichen.
Fertig!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
Das die beiden EV senkrecht zueinander stehen hatten wir in der Vorlesung auch mal aufgeschrieben.
Allerdings hatte ich dann mal im [mm] \IR^{3} [/mm] ein Beispiel mit Lösung, wo die 3 EV nicht senkrecht zueinander waren.
Deshalb war ich etwas verunsichert.
Gilt diese Regel vielleicht nur im [mm] \IR^{2}?
[/mm]
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe nicht behauptet, dass die beiden Eigenvektoren senkrecht sind (das ist i.A. nicht der Fall), sondern dass man einen Eigenvektor ablesen kann, indem man einen Vektor bildet, der senkrecht zum ersten Zeilenvektor deiner auf Zeilenstufenform gebrachten Matrix ist. Dies geht aber i.A. nur im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Man braucht hier also nichts zu wählen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Reilly |
Danke euch allen.
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