Frage bzgl pktw/glm Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 27.04.2008 | | Autor: | olol |
Hi, ich hab eine kleine verständnisfrage bezüglich des umgangs mit gleichmäßiger bzw punktweiser konvergenz da ich leider aus den vorlesungen nicht sonderlich schlau geworden bin.
also wenn ich nun eine folge fn(x) habe, und auf punktweise konvergenz prüfen will, dann mach ich ja im prinzip nur
"lim fn(x)" und schau was rauskommt, wenn ich n gegen unendlich gehen lasse. dieser "grenzwert" ist ja dann die funktion f(x) und somit konvergiert fn(x) erstmal punktweise gegen f(x).
habe ich das soweit richtig verstanden? oder muss noch etwas anderes nachgewiesen werden um explizit zu zeigen das sie punktweise konvergiert?
nun hab ich noch ein problem was die gleichmäßige konvergenz angeht bzw wie ich diese nachprüfe.....in der vorlesung hieß es was von
" sup |fn(x) - f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] " (bzw kleinergleich)
hier kann ich zwar fn(x) und mein gefundenes f(x) einsetzen, jedoch weiss ich nicht was ich danach tun muss um die gleichmäßige konvergenz nachzuweisen.....wie muss man epsilon wählen? was für eine rolle spielt das supremum?
sorry falls die fragen zu trivial erscheinen, aber ich steh hier echt auf dem schlauch was das verständnis angeht :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
das [mm] \varepsilon [/mm] hast Du eigentlich sowohl bei punktweiser als auch bei gleichmäßgier Konvergenz - denn gerade so ist ja das [mm] $\lim f_n(x)$ [/mm] definiert: egal, wie klein ich [mm] \epsilon [/mm] vorgebe, immer gibt es ein n, ab dem [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Stell Dir also vor, dass das [mm] \varepsilon [/mm] nicht von Dir gewählt wird, sondern von irgend einer böswilligen Person als eine möglichst kleine (aber immer noch positive) Zahl vorgegeben wird. Deine Aufgabe ist es dann, ein n so anzugeben, dass ab diesem Wert der Abstand zwischen [mm] f_n(x) [/mm] und f(x) kleiner ist als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Der wichtige Unterschied zwischen punkweiser und gleichmäßiger Konvergenz ist, dass du bei punktweiser Konvergenz das n abhängig von x bestimmen darfst, während bei gleichmäßiger Konvergenz über alle x-Werte der größte Abstand zwischen [mm] f_n [/mm] und f zu betrachten ist. Das ist also verständlicherweise deutlich schwieriger, als das ganze erst mal nur für ein x hinzukriegen.
Schauen wir uns als Beispiel mal [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] x^n$ [/mm] auf dem Intervall $]0,1[$ an.
Das geht punktweise gegen $f(x) = 0$:
Für irgend ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 soll [mm] $|x^n [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon$ [/mm] sein. Löst man das nach x auf (und beachtet, dass [mm] $\ln [/mm] x < 0$) bekommt man, dass das für $x > [mm] \frac{\ln \varepsilon}{\ln x}$ [/mm] der Fall ist - beachte das x auf der rechten Seite!!!!!
Allerdings ist die Konvergenz nicht gleichmäßig. Für jedes n, dass Du als "Antwort" auf ein [mm] \varepsilon [/mm] geben kannst werde ich immer ein x finden, für das [mm] $|x^n [/mm] - 0| [mm] >\varepsilon$ [/mm] ist. Löst man das nämlich nach x auf, so stellt man fest, dass dies für $x > [mm] \varepsilon^{\frac{1}{n}}$ [/mm] gilt.
Naja, ob das jetzt verständlicher war als in der Vorlesung....
Einen Versuch war's wert und Du kannst ja nochmal nachfragen!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 27.04.2008 | | Autor: | olol |
erstmal danke für die schnelle antwort!
gut, also das mit dem epsilon-schlauch (kenn ich noch von cauchy) ist mir nun klar.
bei punktweiser lass ich bei fn(x) das n gegen unendlich streben......also [mm] x^1, x^2, [/mm] etc bis x^unendlich. und schau wie sich die funktion entwickelt und bin dann, was punktweise konvergenz angeht eigentlich fertig, richtig?
das intervall 0,1 in deinem beispiel, bezieht sich das auf das x oder das n?
mein größtes problem liegt immernoch in dem verständnis dieser unabhängikeit von n.....wie man das ganze mathematisch beweist ist mir völlig unklar. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
> erstmal danke für die schnelle antwort!
> gut, also das mit dem epsilon-schlauch (kenn ich noch von
> cauchy) ist mir nun klar.
>
> bei punktweiser lass ich bei fn(x) das n gegen unendlich
> streben......also [mm]x^1, x^2,[/mm] etc bis x^unendlich. und schau
> wie sich die funktion entwickelt und bin dann, was
> punktweise konvergenz angeht eigentlich fertig, richtig?
Bei punktweiser Konvergenz schaust Du für jeden einzelnen x-Wert, wie sich die Folge der x-Werte entwickelt. Wenn sie für jeden Punkt einzeln betrachtet fürher oder später im [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] liegt, dann haben wir Punktweise Konvergenz.
Bei glichmäßiger Konvergenz wird dagegen verlant, dass die gesamte Funktion bei genügend großem n komplett im [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] um die Zielfunktion liegt, ohne auch nur an einer Stelle rauszuschauen.
In meinem Beispiel ist es ja so, dass, egal wie groß ich n wähle, [mm] f_n [/mm] am rechten Ende des Intervalls immer aus [mm] dem$\varepsilon$-Schlauch [/mm] ausbricht. Je größer das n, desto weiter rechts liegen die "Übeltäter", aber es sind immer welche da. Darum ist die Konvergenz hier nicht gleichmäßig: für jeden x-Wert liegt [mm] f_n(x) [/mm] irgendwann im [mm] $\varepsilon$-Schlauch, [/mm] aber niemals liegt [mm] f_n(x) [/mm] für alle x-Werte auf einmal drin.
>
> das intervall 0,1 in deinem beispiel, bezieht sich das auf
> das x oder das n?
Das bezieht sich auf das x, das n läuft weiterhin gegen [mm] \infty.
[/mm]
>
>
> mein größtes problem liegt immernoch in dem verständnis
> dieser unabhängikeit von n.....wie man das ganze
> mathematisch beweist ist mir völlig unklar. :/
Du meinst hoffentlich "Unabhängigkeit von x". Um Konvergenz (egal ob punktweise oder gleichmäßig) zu zeigen, musst Du ja immer ein n in abhängigkeit von einem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] bestimmen. Wenn Du es schaffst, dass Du für alle x-Werte das gleiche n verwenden kannst, dann hast Du bereits gleichmäßige Konvergenz gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Mo 28.04.2008 | | Autor: | olol |
hey, vielen dank. jetzt hab ich wenigstens mal die basis von dem verständnis und kann die folgenden sachen darauf aufbauen.
konnte mir das ganze nicht so richtig visuell,jetzt schon.
vielen dank nochmals piet ;)
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