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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{A}^{}{(x^2+y^2}^5dA}}[/mm], wobei A ein Viertelkreis mit Radius 1 im ersten Quadranten ist. |
Hallo,
möchte gerne wissen, ob mein Ansatz (und auch die Lösung) der Aufgabe korrekt ist. Außerdem habe ich noch zwei Fragen (siehe unten)
Zu Berechnen ist das Volumen über der Fläche, die Höhe an dem Ort x und y ist durch [mm](x^2+y^2)^5[/mm] gegeben. Die Fläche wird nach oben hin durch die (Einheits-)halbkreisfunktion [mm]y=\wurzel(1-x^2)[/mm] und nach unten hin durch y=0.
Die Volumeneinheiten sammle ich von links nach rechts auf, d.h. von 0 (da ja nur der erste Quadrant) bis 1 (Radius des Einheitskreises). Mein Ansatz wäre also:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{(x^2-y^2)^{5}dy}dx}[/mm]
Dazu noch eine Frage: Bei manchen Aufgaben steht kein Doppelintegral über der Fläche (hier z.B. A) sondern nur eines- ist das nur eine andere Schreibweise? Was anderes kann ich mir nicht vorstellen.
Wie integriere ich den Term [mm](x^2-y^2)^5[/mm], es kann doch nicht sein, dass ich hier den kompletten Ausdruck ausmultiplizieren muss, zumal [mm]x^2[/mm] beim Integrieren nach y eh verschwindet? In Integralrechnung fehlt mir noch ein wenig die (Er)-Kenntnis, daher bin ich für jede Hilfe/ Tipps dankbar.
Lieben Gruß,
Dirk
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1) Wo kommt das "-" in [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] her?
2) Vielleicht hilft eine Substitution bzw. der Übergang zu Polarkoordinaten?
3) Kann es sein, dass [mm]\bruch {\pi}{22}[/mm] herauskommt? Hab ich aber nur gerade so im Kopf gerechnet, kann also noch ein Fehler drin sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
1) Das "-" im Term [mm] x^2-y^2 [/mm] ist einfach so gegeben, es beschreibt, soweit ich es weiß, die Höhe an dem Punkt xy. Steht ja auch oben in der Aufgabenstellung so. Mit der Funktion für den Kreis hat es nichts zu tuen.
2) Wenn ich zu Polarkoordinaten übergehe, dann bleibt der innere Ausdruck doch trotzdem erhalten oder?
3) Ob es richtig ist, das weiß ich nicht. Aber wie hast du das mal eben "im Kopf ausgerechnet"? Kannst du dein Vorgehen erläutern ?
Lieben Gruß,
Dirk
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Ich meine, weil in deinem ersten Satz noch [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] steht. Dann wäre es nämlich einfach: Man ersetzt den Ausdruck durch [mm] r^2, [/mm] überzeugt sich, dass die Funktion nicht vom Winkel abhängt, integriert [mm] (r^2)^5 [/mm] und multipliziert mit [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] (für den Viertelkreis). Daher mein Ergebnis. Funktioniert leider nicht mit [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2).
[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
ahh, du hast Recht, die Aufgabe ist schon korrekt, ich habe nur mit dem Minuszeichen versucht weiterzurechnen
Okay, ich substituiere also [mm]r^2=x^2+y^2[/mm]. Wie kann ich jetzt überprüfen, ob die Funktion vom Winkel abhängt? In der Gleichung kommt ja nur der Radius vor, der nicht vom Winkel abhängt- Ist das schon der Beweis? Und wie kommst du auf das pi/2 ? Rechnest du dann in Polarkoordinaten weiter und nimmst nur 90° für den Viertelkreis? Man muss doch dann aber so oder so noch mit der Höhe multiplizieren?
Verstehe das noch nicht so recht.
Lieben Gruß,
Dirk
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Also nach Substitution sieht's doch so aus
[mm]\integral_{A} {(r^2)^5 dA} = \integral_{0}^{\bruch {\pi}{2}} \integral_{0}^{1} {r^{10} dr d \phi}[/mm]
Und das war's, würd' ich meinen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
verstehe es immer noch nicht so ganz. Also, du beschreibst den Viertelkreis in Polarkoordinaten, richtig? Muss ich nach dieser Rechnung nicht wieder zurück substituieren? Wie bekomme ich dann den Radius r aus dem äußeren Integral heraus, wenn ich nach dem Winkel phi integriere ?
Für dich mag es einfach sein, für mich ist es das (noch) nicht *zwinker*
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in Olarkoordinaten ist ein kleines Flächenstück dA [mm] =dr*rd\phi
[/mm]
zeichne einfach mal ein Stück Kreis, dann ein kleines flächenstück am Rand. in einer Richtung ist das beinahe "quadrat" dann dr lang, in der Anderen ein Stück Bogenlänge also [mm] r*d\phi.
[/mm]
genauso wie du erst in Streifen in y nd dann in x-Richtung (oder umgekehrt) rechnen kannst, wenn dA=dxdy, kannst du jetzt in radiale Streifen und Winkelsektoren unterteilen und erst in einer Richtung, dann in der anderen Richtung integrieren.
vielleicht verwechselst du die Integrationsvariable r mit dem Radius R des Kreises, der deine Fläche A berandet.
also du hast dann:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{ d\phi}\integral_{0}^{R}{r^{11}dr}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart, generationx,
ich glaube, das Vorgehen habe ich jetzt verstanden, allerdings habe ich noch einige Fragen bzgl. des Ausintegrierens. Danke.
(1) Ich habe ja [mm]r^2=x^2+y^2[/mm] substituiert. Muss ich das innere Integral jetzt nach r oder x integrieren? Ich denke nach r, womit ich dann ja
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{1}{r^10 dr}d\phi}[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{11}r^{11} d\phi}[/mm] (Wobei hier noch für x R eingesetzt werden muss.
Wie mache ich denn dann genau die Rücksubstitution? Schließlich habe ich dann ja einen Term r^11 und ich kann da doch schlecht mit [mm]r^2[/mm] wieder rücksubstituieren, da der Exponent 11 ungerade ist oder wie mache ich das?
Wenn ich es rücksubstituiert hätte, setze ich dann für x den Radius R ein, aber was passiert mit der Variable y? Und wenn ich später zum Winkel phi integriere, habe ich zwei Variablen x und y. Das verstehe ich noch nicht so recht, kann mir das bitte nochmal jemand näher bringen?
Dann noch eine Verständnisfrage: Warum könnte ich denn [mm]y^2-x^2[/mm] im Gegensatz zu [mm]y^2+x^2[/mm] nicht einfach substituieren?
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk
Bitte lies die posts genauer! du musst [mm] r^{11}dr [/mm] integrieren NICHT r^10!
2. warum solltest du rücksubstituieren, du hast ja die Grenzen richtig substituiert, und das ergebnis ist ne Zahl, unabhängig davon wie einfach oder umständlich du die ausgerechnet hast.
Überleg bei sowas immer, was dein Ziel war (oder ist), das verlierst du, weil dir dir Rechnungen noch ungewohnt und deshalb schwierig vorkommen, leicht aus den Augen. Und wenn dir klar wär, dass dein Ziel eine Maaszahl für ein Volumen ist, kommst du auf so nen Gedanken nicht!
Also ist das Ergebnis [mm] \pi/24*R^{12} [/mm] wenn R bei dir 1 war das noch einsetzen.
Polarkoordinaten sind:
[mm] x=rcos\phi
[/mm]
[mm] y=rsin\phi
[/mm]
daraus folgt [mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
aber [mm] y^2-x^2=r^2*(sin^2\phi-cos^2\phi) [/mm] dann ist einfach das Integral nicht mehr so einfach. Aber in Polarkoordinaten rechnen lohnt sich, wenn die Fläche ein Stück Kreis ist natürlich fast sicher noch immer.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
> Bitte lies die posts genauer! du musst $ [mm] r^{11}dr [/mm] $ integrieren NICHT r^10!
Leduart, ich bin dir (und natürlich allen anderen) immer dankbar für die Lösungshinweise, sei versichert, dass ich mir das auch gründlich durchlese. Aber ich habe es bis vor kurzem selbst noch nicht ganz verstanden, warum hier ein [mm]r^11[/mm] stand und dachte, du hättest dich vertippt, da generation..x auch [mm]r^10[/mm] geschrieben hat. Ich habe es nicht verstanden, dass das zusätzliche "r" hierher rührt: [mm]dr\cdot{}rd\phi[/mm]
Dass da ein Volumen rauskommen muss, das ist mir mittlerweile (genauer seit meinem letzten Post) auch klar, aber wenn ich das Integral nach meiner Weise aufgelöst hätte, wären am Ende noch Variablen als Ergebnis drinne- was im Widerspruch zu dem Volumen steht, daher auch meine Frage
Ich mag Mathematik wirklich sehr, ich war nur lange Zeit einfach viel zu faul, das gebe ich offen zu. Es mangelt mir einfach noch am Verständnis, keinesfalls aber am Interesse.
Es war mir wichtig, das klarzustellen, dass ich die Posts keinesfall nur oberflächlich lese.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in Polarkoordinaten ist dA nicht [mm] drd\phi, [/mm] sondern [mm] dA=dr*rd\phi.
[/mm]
Gruss leduart
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Stimmt natürlich, schließlich sollte die Kreisfläche auch von [mm] r^2 [/mm] abhängen.
(Kommt davon, wenn man alles im Kopf macht, ohne Notizen...)
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