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Frage wegen Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 So 26.09.2004
Autor: Suinatas

Hallo @all

ich bin neu hier und habe gleich eine Frage!

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.

Ich soll mit Hilfe  der Obersumme folgendes Integral bestimmen:  [mm] \integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}. [/mm] Allerdings haben wir noch nicht bewiesen, dass man das Integral in seine Summanden zerlegen kann. Meine Frage ist jetzt, wie ich auch ohne diese Zerlegung und ohne Stammfunktion dieses Integral bestimmen kann!

Vielen Dank für etwaige Antworten

Suinatas

        
Bezug
Frage wegen Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 26.09.2004
Autor: Hanno

Hi Suinatas!
[willkommenmr]

> ich bin neu hier und habe gleich eine Frage!
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
> Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.

Das sind doch mal Fakten! :-)

> Ich soll mit Hilfe  der Obersumme folgendes Integral bestimmen:  $ [mm] \integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}. [/mm] $ Allerdings haben wir noch nicht bewiesen, dass man das Integral in seine Summanden zerlegen kann. Meine Frage ist jetzt, wie ich auch ohne diese Zerlegung und ohne Stammfunktion dieses Integral bestimmen kann!

Da du das Ganze über die Obersumme berechnen sollst, würde ich mich von der Integralschreibweise lösen und eben diese Obersumme auszudrücken zu versuchen. Dabei wird sich zeigen, dass du das Integral in zwei Teilintegrale der Funktionen [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $2\cdot [/mm] x$ aufteilen kannst.
Ich weiß nicht, wie weit dir das Summenzeichen [mm] $\summe$ [/mm] geläufig ist, daher werde ich erstmal ein paar Rechnungen ohne dieses durchführen:
Wir wollen nun das Intervall $[0;b]$ in 5 gleich große Teile zerschneiden und dann die Obersumme berechnen. Da du das wahrscheinlich schon kennst, lasse ich vorerst die Erklärungen weg (falls es Probleme gibt, dann frag einfach und ich gehe auf dies und das näher ein - hab' keine Hemmungen :-) ):
$A= [mm] \frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 1\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 2\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 3\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 4\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 5\right)=\frac{5}{b}\cdot \left(f\left(\frac{b}{5}\cdot 1\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 2\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 3\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 4\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 5\right)\right)$ [/mm]
Dies können wir mit dem Summenzeichen einfacher als:
[mm] $\summe_{i=1}^{5}{\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot i\right)}$ [/mm]
schreiben. Hier die Erläuterung: Durch das Summenzeichen [mm] $\summe$ [/mm] kannst du Summen einfacher schreiben. Du wählst eine Zählervariable, in diesem Falle $i$ und definierst eine Unter- und eine Obergrenze (hier ist die Untergrenze die $1$, wegen $i=1$ unterhalb des [mm] $\summe$, [/mm] die Obergrenze ist $5$). Dieses $i$ darfst du nun rechts vom Summenzeichen verwenden. Der Ausdruck bedeutet dann nichts anderes als der, der entstehen würde, würde ich den Teil rechts vom Summenzeichen für jedes $i$ von 1 bis 5 aufschreiben und sie aufsummieren. Klar? Ist immer blöd zu erklären, dieses Summenzeichen :-)

So, weiter im Programm:
Natürlich haben wir mit fünf Rechtecken nur eine sehr grobe Näherung des korrekten Integrals. Wir setzen statt $5$ nun $n$ ein und lassen $n$ gegen unendlich laufen, um auszudrücken, dass wir die Fläche unterhalb der Kurve in unendliche viele, infinitesimal kleine Rechtecke zerschneiden. Dann sieht die Summe wie folgt aus:
[mm] $A=\limes_{n\to\infty}\summe_{i=1}^{n}{\frac{b}{n}\cdot f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}$ [/mm]

Und jetzt kommt das Entscheidende: Für diesen Ausdruck wurde jetzt einfach [mm] $\integral_{0}^{b}{f(x)\cdot dx}$ [/mm] geschrieben - es ist nur eine andere Schreibweise. Merke dir das, es kann dir nützlich sein.

Damit wäre die allgemein Formel für die Obersumme hergeleitet.
Nun wenden wir die Formel auf unser Problem an, mit [mm] $f(x)=x^2+2x$. [/mm] Es ergibt sich:
[mm] $A=\integral_{0}^{b}{(x^2+2x)\cdot dx}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)^2+2\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}$ [/mm]
Dies formen wir jetzt ein wenig um:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\frac{b}{n}\cdot i^2+2\cdot i}$ [/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(i^2\right)}+2\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(i\right)}\right)$ [/mm]

Wegen der Summenformeln
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ [/mm]
und
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm]
folgt:

[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right)$ [/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(n+1)\right)$ [/mm]

Nun multiplizieren wir aus:

[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{\overbrace{2n^3+3n^2+n}^{n(n+1)(2n+1)}}{6}+\overbrace{n^2+n}^{n(n+1)}\right)$ [/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{n^3}\right)+b^2\cdot\left(\frac{n^2+n}{n^2}\right)$ [/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\left(\frac{2n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}+\frac{n}{n^3}\right)+b^2\cdot\left(\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}\right)$ [/mm]

So, wegen [mm] $\limes_{n\to\infty}$ [/mm] konvergieren die Brüche [mm] $\frac{3n^2}{n^3}$, $\frac{n}{n^3}$ [/mm] und [mm] $\frac{n}{n^2}$ [/mm] gegen Null, d.h. sie fallen weg und es bleibt übrig:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\frac{2n^3}{n^3}+b^2\cdot\frac{n^2}{n^2}$ [/mm]
[mm] $=\frac{b^3}{3}+b^2$ [/mm]

Damit ist die Lösung:
[mm] $\integral_{0}^{b}{(x^2+2\cdot x)\cdot dx}=\frac{b^3}{3}+b^2$. [/mm]



Ich hoffe ich konnte dir helfen. Wenn du noch fragen hast oder ich mich an zich Stellen verschrieben habe, dann sag das, und ich werde es klar stellen!


Gruß,
Hanno

Bezug
                
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Frage wegen Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 So 26.09.2004
Autor: Suinatas

Hey

erstmal ein riesen Danke an dich. So schön hättest du es gar nicht erklären brauchen, aber super nett, dass du es trotzdem getan hast! Ich hatte auch schon die Idee, dass ganze zu unterteilen aber ich bin dummerweise nicht auf die Sache mit der  [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Schreibweise gekommen.

Echt Klasse!!

Suinatas

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Bezug
Frage wegen Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 26.09.2004
Autor: Hanno

Hi Suinatas!

Kein Problem, mach ich doch gerne :-)

> Ich hatte auch schon die Idee, dass ganze zu unterteilen aber ich bin dummerweise nicht auf die Sache mit der  $ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] $ Schreibweise gekommen.

Ab jetzt kommst du drauf :-)

Viel Erfolg weiterhin!

Gruß,
Hanno

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Frage wegen Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 So 26.09.2004
Autor: Marcel

Hallo ihr beiden,

> [mm]\integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}.[/mm]

Gemeint war vermutlich:
[mm]\integral_{0}^{b} {(x^2+2x) dx}.[/mm],

denn eine Funktion $f$ wurde gar nicht angegeben.
Noch "vermutlicher" (:-)) war einfach nur die Funktion $f(x)=x²+2x$ gegeben und damit sollte das Integral:
[mm]\integral_{0}^{b} {f(x) dx}[/mm] (bzw. [mm]\integral_{0}^{b} {(x^2+2x) dx})[/mm] berechnet werden.

Liebe Grüße
Marcel

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Frage wegen Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mo 27.09.2004
Autor: Suinatas

Hey

genau darum ging es :) sry für den Fehler meinerseits aber mein Problem wurde ja verstanden ;)

bye

Suinatas

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Frage wegen Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Mo 27.09.2004
Autor: Marcel

Hallo Suinatas!

> Hey
>  
> genau darum ging es :) sry für den Fehler meinerseits aber
> mein Problem wurde ja verstanden ;)

Ja, das hatte ich auch schon gesehen, denn du hast ja keinen Einspruch gegen Hannos ausführliche Erklärung gegeben. Der Sinn meiner Mitteilung ist einfach der, das spätere Leser die genaue Aufgabenstellung kennen und nicht denken, dass Hannos Antwort nicht zu der Frage passe. ;-)

Und nicht, dass eine(r) noch versucht, das ganze mit $f(x²+2x)$ durchzurechnen! ;-)
  
Auf jeden Fall vielen Dank für die Bestätigung! :-)

> bye
>  
> Suinatas

Liebe Grüße
Marcel  

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