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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Do 22.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo, es geht um folgendes Integral:
f(x) = [mm] \integral \bruch{x}{\wurzel{-x^2 -4x -3}} [/mm] dx = - [mm] \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{\wurzel{-x^2 -4x -3}} [/mm] * (-2x -4) -2 = [mm] -(\wurzel{-x^2 -4x -3}) [/mm] - 2 [mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{-x^2 -4x -3}}
[/mm]
Als nächstes werde ich das übrig gebliebene Integral so umschreiben, dass ich mit arc sin integrieren kann.
Dieses Vorgehen mache ich eigentlich auomatisch, jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen, wieso sich der erste Schritt so gestaltet. Kann mir jemand eine Erklärung liefern? Vielen Dank, Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 22.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Möchte mich für den unabsichtlichen Doppelpost entschuldigen
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Hallo Kuriger,
> Hallo, es geht um folgendes Integral:
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> f(x) = [mm]\integral \bruch{x}{\wurzel{-x^2 -4x -3}}[/mm] dx = -
> [mm]\bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{\wurzel{-x^2 -4x -3}}[/mm] *
> (-2x -4) -2 = [mm]-(\wurzel{-x^2 -4x -3})[/mm] - 2 [mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{-x^2 -4x -3}}[/mm]
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> Als nächstes werde ich das übrig gebliebene Integral so
> umschreiben, dass ich mit arc sin integrieren kann.
>
> Dieses Vorgehen mache ich eigentlich auomatisch, jedoch
> kann ich nicht ganz nachvollziehen, wieso sich der erste
> Schritt so gestaltet. Kann mir jemand eine Erklärung
> liefern?
Nun, zunächst kannst du den immergrünen Trick, eine "nahrhafte Null" zu addieren, benutzen:
[mm] $\frac{x}{\sqrt{-x^2-4x-3}}=\frac{x\overbrace{\green{+2-2}}^{\green{=0}}}{\sqrt{-x^2-4x-3}}$
[/mm]
Damit also [mm] $\int{\frac{x}{\sqrt{-x^2-4x-3}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int{\frac{x+2}{\sqrt{-x^2-4x-3}} \ dx } [/mm] \ - \ [mm] 2\int{\frac{1}{\sqrt{1-(x+2)^2}} \ dx}$
[/mm]
Für das zweite hast du die richtige Idee schon angesprochen, das erste wird erweitert mit -2
[mm] $\int{\frac{x+2}{\sqrt{-x^2-4x-3}} \ dx } [/mm] \ = \ [mm] \frac{-2}{-2}\cdot{}\int{\frac{x+2}{\sqrt{-x^2-4x-3}} \ dx } [/mm] \ = \ [mm] -\frac{1}{2}\int{\frac{-2x-4}{\sqrt{-x^2-4x-3}} \ dx }$
[/mm]
Nun substituiere [mm] $z=z(x):=-x^2-4x-3$ [/mm] ...
> Vielen Dank, Gruss Kuriger
Gruß
schachuzipus
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