Frage zu Suffizienz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 12.09.2013 | | Autor: | Stern123 |
Hallo zusammen!
Sei [mm] X=(X_1,\ldots,X_n), X_1,\ldots,X_n [/mm] uiv [mm] Bin(1,\vartheta), \vartheta\in(0,1). [/mm]
Sei [mm] t\in\{0,1,\ldots,n\}, x\in\{0,1\}^n.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] P_\vartheta(X=x|T=t)&=&\frac{P_\vartheta(X=x,T=t)}{P_\vartheta(T(x)=t)}\\&=&\left\{\begin{array}{c@{,\ }l}
0&\sum_{j=1}^nx_j\neq t\\\frac{P_\vartheta(X=x)}{P_\vartheta(T(x)=t)}=\frac{\prod_{j=1}^n\vartheta^{x_j}(1-\vartheta)^{1-x_j}}{{n\choose t}\vartheta^t(1-\vartheta)^{n-t}}=\frac{1}{{n\choose t}}&\sum_{j=1}^n x_j=t\end{array}\right.
[/mm]
Dann ist die Statistik [mm] T(x)=\sum_{j=1}^n x_j [/mm] suffizient, da sie unabhängig von [mm] \vartheta [/mm] ist. Soweit ist mir das klar.
Ich habe allerdings in einem Buch gefunden, dass die Statistik T(x) = [mm] \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j [/mm] ebenfalls suffizient ist? Warum?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Fr 13.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stern123,
> Sei [mm]X=(X_1,\ldots,X_n), X_1,\ldots,X_n[/mm] uiv
> [mm]Bin(1,\vartheta), \vartheta\in(0,1).[/mm]
> Sei [mm]t\in\{0,1,\ldots,n\}, x\in\{0,1\}^n.[/mm]
> Dann gilt:
>
> [mm]P_\vartheta(X=x|T=t)&=&\frac{P_\vartheta(X=x,T=t)}{P_\vartheta(T(x)=t)}\\&=&\left\{\begin{array}{c@{,\ }l}
0&\sum_{j=1}^nx_j\neq t\\\frac{P_\vartheta(X=x)}{P_\vartheta(T(x)=t)}=\frac{\prod_{j=1}^n\vartheta^{x_j}(1-\vartheta)^{1-x_j}}{{n\choose t}\vartheta^t(1-\vartheta)^{n-t}}=\frac{1}{{n\choose t}}&\sum_{j=1}^n x_j=t\end{array}\right.[/mm]
Es müsste
[mm] $P_\vartheta(X=x|T\red{(X)}=t)=\frac{P_\vartheta(X=x,T\red{(X)}=t)}{P_\vartheta(T(\red{X})=t)}$
[/mm]
heißen.
> Dann ist die Statistik [mm]T(x)=\sum_{j=1}^n x_j[/mm] suffizient, da
> sie unabhängig von [mm]\vartheta[/mm] ist. Soweit ist mir das
> klar.
Statistiken sind immer unabhängig von [mm] $\vartheta$. [/mm] Das Entscheidende ist, dass [mm] $P_\vartheta(X=x|T(X)=t)$ [/mm] unabhängig von [mm] $\vartheta$ [/mm] ist.
> Ich habe allerdings in einem Buch gefunden, dass die
> Statistik T(x) = [mm]\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j[/mm] ebenfalls
> suffizient ist? Warum?
Nennen wir diese Statistik lieber $T'$, um sie von obiger Statistik $T$ zu unterscheiden.
$T'$ ist suffizient, da für alle [mm] $x\in\{0,1\}^n$ [/mm] und alle [mm] $t'\in\{\bruch0n,\bruch1n,\ldots,\bruch{n}{n}\}$
[/mm]
[mm] $P_\vartheta(X=x|T'(X)=t')$
[/mm]
unabhängig von [mm] $\vartheta$ [/mm] ist. Um das einzusehen, ist [mm] $P_\vartheta(X=x|T'(X)=t')$ [/mm] zu berechnen. Es gilt [mm] $T'=\bruch1nT$ [/mm] und somit
[mm] $\{T'(X)=t'\}=\{\bruch1nT(X)=t'\}=\{T(X)=n*t'\}$,
[/mm]
also
[mm] $P_\vartheta(X=x|T'(X)=t')=P_\vartheta(X=x|T(X)=n*t')$.
[/mm]
Und von der rechten Seite hast du ja schon ausgerechnet, dass sie unabhängig von [mm] $\vartheta$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 13.09.2013 | | Autor: | Stern123 |
Okay, danke. Jetzt habe ich es verstanden!
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