Frage zu Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 13.05.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Untersuche, ob folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{ (1 + \bruch{1}{n})^n } [/mm] |
Hallo.
Ich habe obige Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst. Als Ergebnis habe ich heraus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{e}} [/mm] = 1.
Mir stellt sich nun die Frage, was diese Erkenntnis in Bezug zum Wurzelkriterium bedeutet.
Heißt das, die Summe ist divergent? Oder ist sie noch konvergent, da ja für fast alle Folgenglieder gilt, dass sie kleiner als 1 sind.
Oder ist es so wie beim Quotientenkriterium, wo man bei einem Grenzwert von 1 keine Entscheidung über Konvergenz/Divergenz machen kann?
Freundliche Grüße,
Leader.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 13.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das Wurzelkriterium sagt dann hier nichts aus.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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wie kommst du eigentlich auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{e}} [/mm] = 1 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Der Term [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{e}} = 1[/mm] ist falsch.
Mit dem Wurzelkriterium erhält man hier:
[mm] $\wurzel[n]{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] \ [mm] \rightarrow [/mm] \ 1$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leader!
Untersuche doch mal, ob hier das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt ist, und ob [mm] $\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß
Loddar
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Ist [mm] \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] nicht gleich [mm] e^{-1} [/mm] ? Oder nein, dass gilt nur für die Reihe und nicht für die Folge?
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Hi,
> Ist [mm]\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}[/mm] nicht gleich
> [mm]e^{-1}[/mm] ? Oder nein, dass gilt nur für die Reihe und nicht
> für die Folge?
jo, es ist
[mm] $\red{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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[mm] \red{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e} [/mm] das ist aber doch eine Reihe? Gefragt war doch ob es eine Null-FOLGE ist, oder verstehe ich hier etwas komplett falsch?
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ok, nochmal langsam.
Also gefragt war, ob die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ [/mm] konvergiert
Dazu ist es NOTWENDIG, dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge bildet, also dass [mm] $\lim\linits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=0$ [/mm] ist.
Das ist es aber nicht - wie oben gesagt, die Folge der Reihenglieder geht gegen [mm] $e^{-1}=\frac{1}{e}$
[/mm]
Somit ist die Reihe divergent
LG
schachuzipus
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> Dazu ist es NOTWENDIG, dass die Folge der Reihenglieder
> eine Nullfolge bildet, also dass
> [mm]\lim\linits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=0[/mm]
> ist.
Welches Kriterium ist das eigentlich?
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Damit eine Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] überhaupt konvergiert, MUSS die Folge der Reihenglieder [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge sein.
Das ist ein NOTWENDIGES Kriterium für die Kongergenz von Reihen, dh, wenn die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] keine Nullfolge ist, weißt du mit Sicherheit, dass die Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] divergiert.
Das Kriterium ist aber NICHT HINREICHEND - wie das Gegenbsp der harmonischen Reihe [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] zeigt.
Gruß
schachuzipus
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