Frage zum Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | g= [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{k}{k^{2}+1} [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand sagen, wie man das berechnet?
Ich bin mal hingegangen und habe mir die ersten Summanden rausgeschrieben, aber die bringen mich auch nicht wirklich weiter...
Die geometrische Reihe, oder der Trick von Gauß hilft mir auch nicht wirklich.
Villeicht hat ja einer von euch eine Idee?!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße Mattes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Mi 09.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Mattes!
> g= [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{k}{k^{2}+1}[/mm]
Das soll bestimmt
g= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k}{k^{2}+1}
[/mm]
heißen.
> Kann mir jemand sagen, wie man das berechnet?
> Ich bin mal hingegangen und habe mir die ersten Summanden
> rausgeschrieben, aber die bringen mich auch nicht wirklich
> weiter...
Die Summanden sehen ja ungefähr wie [mm] \bruch{1}{k} [/mm] aus, und das müßte einen gewissen Verdacht bei dir wecken ...
Sonst vergleich die Summe mal mit einem Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^{2}+1}dx},
[/mm]
das könnte den Verdacht bestätigen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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OK das mit den Integralen haben wir noch nicht gemacht.
Wenn man das dafür braucht, ok dann kann ich ads nicht lösen, aber is schon OK, habe die Aufgabe halt irgendwo online gefunden.
Aber du hast Recht, da habe ich garnicht dran gedacht, also wird die Reihe divergent sein ;)
Oder?
Danke und Gruß mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Mi 09.08.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> OK das mit den Integralen haben wir noch nicht gemacht.
> Wenn man das dafür braucht, ok dann kann ich ads nicht
> lösen, aber is schon OK, habe die Aufgabe halt irgendwo
> online gefunden.
Nee, braucht man nicht unbedingt. Es ist z. B. auch für k [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{k}{k^{2}+1} \ge \bruch{1}{k+1}
[/mm]
> Aber du hast Recht, da habe ich garnicht dran gedacht, also
> wird die Reihe divergent sein ;)
Ebend!
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
Ja Super danke dir!
CU
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Habe da aber noch eine Frage:
Und zwar wollte ich fragen, wie man das macht, wenn man die Reihe:
[mm] \summe_{i=2}^{ \infty} \bruch{1}{k^{2}-1}
[/mm]
hat, wie berechnet man das, sofern das ohne ein Integras geht^^
Gruß mattes
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Hallo Mattes!
Hier ist eine Partialbruchzerlegung erforderlich. Anschließend erhältst Du eine sogenannte "Teleskopsumme":
[mm] $\bruch{1}{k^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(k-1)*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{k-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left( \ \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k-1}-\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k+1} \ \right) [/mm] \ = \ ...$
Wenn Du Dir nun die ersten Reihenglieder aufschreibst, solltest Du feststellen, dass die meisten Reihenglieder verschwinden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mo 14.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo roadrunner!
> Hier ist eine Partialbruchzerlegung erforderlich.
> Anschließend erhältst Du eine sogenannte "Teleskopsumme":
>
> [mm]\bruch{1}{k^2-1} \ = \ \bruch{1}{(k-1)*(k+1)} \ = \ \bruch{\bruch{1}{2}}{k-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{k+1} \ = \ \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right)[/mm]
Die Umformung ist OK, ob das eine Teleskop-Summe ist, weiß ich nicht, der Ausdruck war zu meiner Studienzeit nicht üblich.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k^2-1} \ = \ \bruch{1}{2}*\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k+1}\right) \ = \ \bruch{1}{2}*\left( \ \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k-1}-\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k+1} \ \right) \ = \ ...[/mm]
Das ist etwas heikel, weil in der letzten Klammer doch [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] steht (Differenz von 2 harmonischen Reihen)
Trotzdem ist es gut geeignet, sich die Formel
[mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{2n+1}{2n(n+1)}
[/mm]
zu überlegen und durch vollst. Induktion zu beweisen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Dieter!
Grundsätzlich gebe ich Dir natürlich Recht mit dem Ausdruck in der Klammer [mm] $\infty-\infty$ [/mm] . Allerdings habe ich durch die Punkte ... angedeutet, dass dies noch weitere Umformungen (bzw. eine Indexverschiebung bei einer der beiden Reihen) erforderlich macht.
Gruß vom
Roadrunner
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