Frage zur Ableitung mit e < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 05.06.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung für den Term:
[mm] ln\bruch{x}{e^x} [/mm] |
Ich das LN erstmal weggelassen. Habe also folgendes gerechnet:
[mm] \bruch{x}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{e^x}
[/mm]
für den rechten teil habe ich die kettenregel verwendet:
[mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] ist abgeleitet also (denke ich): [mm] -e^{-x}
[/mm]
also produktregel für den ganzen term ergibt bei mir:
[mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] + [mm] x*\bruch{1}{-e^x}
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{-e^x}
[/mm]
das wäre mein ergebnis...!
die beiden brüche darf ich ja nicht addieren, weil ja bei dem einen [mm] e^x [/mm] negativ ist, und somit die nenner unterschiedlich sind!
nun habe ich das in meinen t-rechner eingegeben und der spuckt folgendes aus:
[mm] \bruch{-(x-1)}{e^x}
[/mm]
was? hä? wie kommt der darauf????? oder hab ich falsch gerechnet?
ja und wie gesagt das LN macht mich ganz konfus. ich weiß nicht was ich damit anfangen soll =)
witzig: das ganze ist ne 5-punkte aufgabe -.- (von 150)
komisch. so 5-punkte-einfach find ich das net :D
LG
Bunti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 05.06.2007 | | Autor: | Max80 |
hi!
danke für die antwort, hab die eigentliche aufgabe verstanden.
ich denke aber, so wie du es am schluss gemacht hast, war es auch gedacht gewesen, daher nur 5 pkte.
problem: ich versteh deine umformung nicht^^
da steht ja [mm] ln(\bruch{x}{e^{x}})
[/mm]
also erst der bruch, dann LN. du hast aber das auseinandergeflickt. wie hast du das gemacht? man darf daran doch nicht so viel verändern...
ich muss zuegebn, dass ich auch die klammer an sich nciht verstehe.
das [mm] ln(\bruch{x}{e^{x}}) [/mm] sagt mir persönlich gar nichts. was ist das??
kann ich sagen, dass [mm] ln(\bruch{x}{e^{x}}) [/mm] das selbe wie [mm] \bruch{x}{e^{x}}=e^x [/mm] ist??? eher nicht, oder? ich bin jetzt nach der erklärung auf wikipedia gegangen, was der LN ist. demnach müsste das doch stimmen?
ist [mm] ln(\bruch{x}{e^{x}}) [/mm] das selbe wie [mm] ln\bruch{x}{e^{x}} [/mm] ?
danke!!! =)
LG
Bunti
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Hi Bunti,
der [mm] \ln [/mm] ist der natürliche Logarithmus.
Das ist ne Funktion - so wie [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos
[/mm]
Und in ne Funktion steckt man Argumente und die Funktion liefert nen Funktionswert
Wie f(x)=2x
da steckste ein Argument x rein und die Funktion f liefert 2x als Funktionswert
ebenso cos(x): x reinstecken --> Wert cos(x)
der ln ist wie gesagt auch ne Funktion, aber definiert nur für positive Argumente, also auf [mm] \IR^+, [/mm] dh, man darf nur x-Argumente reinstecken, die >0 sind.
Für den Logarithmus gibts Rechenregeln, zB
(1) [mm] ln(a\cdot{}b)=ln(a)+ln(b)
[/mm]
und das was hier benutzt haben
(2) [mm] ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b), [/mm] also auch [mm] ln(\frac{x}{e^x})=ln(x)-ln(e^x)=ln(x)-x
[/mm]
oder auch
(3) [mm] ln(a^b)=b\cdot{}ln(a)
[/mm]
Der ln ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion, dh beide "heben sich gegeneinander auf"
dh, [mm] ln(e^x)=x=e^{ln(x)}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Max80 |
hey!!
danke für die erklärung.
ich habe mir die rechenregeln mal aufgeschrieben. argh. stehen auch in der formelsammlung drin...
man sieht halt manchmal den walt vor lauter bäumen nicht Oo
kann ich das IMMER anwenden? so könnte ich mir ja zig ableitungen total easy machen....?!
ich habe versucht, deinen letzten satz auch noch zu verstehen. den erkläre ich mir so (hab wikipedia als quelle für die infos benutzt):
angenommen ich habe folgende gleichung
[mm] a=e^x
[/mm]
nun möchte ich ja x bestimmen, also:
[mm] x=log_{e}(a) [/mm] => [mm] log_{e} [/mm] ist ja das selbe wie ln{a} richtig?
nun schreibst du [mm] ln(e^x). [/mm] das setze ich ein und erhalte:
[mm] x=log_{e}(e^x) [/mm] => habe also a durch [mm] e^x [/mm] ersetzt. daraus ergibt sich dann bei der obersten gleichung:
[mm] a=e^x [/mm] ist das gleiche wie [mm] e^x=e^x [/mm] =>ist das selbe
meintest du das???
zugegeben, ohne deine hilfe, dass das =x ist, wäre ich nicht darauf gekommen.
bei der rechten seite kommt das gleiche raus:
[mm] log_{e}(x) [/mm] = [mm] log_{e}(x)
[/mm]
ist das richtig so? und vorallem: meintest du das mit "aufheben"??
danke!!!
gruß
bunti
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> kann ich das IMMER anwenden? so könnte ich mir ja zig
> ableitungen total easy machen....?!
Also immer wenn du umformen kannst, darfst du das auch machen.
> [mm]x=log_{e}(a)[/mm] => [mm]log_{e}[/mm] ist ja das selbe wie ln{a}
> richtig?
Genau, der ln ist der Logarithmus zur Basis e, wie du ja auch gerade festgestellt hast.
> nun schreibst du [mm]ln(e^x).[/mm] das setze ich ein und erhalte:
>
> [mm]x=log_{e}(e^x)[/mm] => habe also a durch [mm]e^x[/mm] ersetzt.
Hier hast du doch eigentlich schon deine hergeleitete Aussage, nämlich das x = [mm] ln(e^x) [/mm] ist.
> ergibt sich dann bei der obersten gleichung:
>
> [mm]a=e^x[/mm] ist das gleiche wie [mm]e^x=e^x[/mm]
Ist ja logisch, du hast es dir ja gerade so definiert. Hier drehst du dich im Kreis und die Schlussfolgerung ist, ich will nicht sagen sinnlos, aber trivial.
> meintest du das???
Er meinte genau das, was du rausbekommen hast, nämlich das [mm] ln(e^x) [/mm] = x gilt. Wenn du also erst den ln und dann e^ machst, sich das aufhebt, also als wäre nix passiert. Ist umgekehrt übrigens genauso.
Gruß,
Gono.
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