Frage zur Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zu zeigen [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{²} [/mm] , für alle n [mm] \ge [/mm] 5 , n [mm] \in \IN [/mm] , |
Hallo,
die Aufgabe ist nichts besonderes, trotzdem habe ich eine Frage zu dem Beweis, er sieht folgendermaßen aus.
IA: n = 5 , 32 > 25, klar
IV : [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{²}
[/mm]
IS : n -> n+1
[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] = 2 * [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 3n > [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
So, meine Frage ist nun an der folgenden Stelle :
Ich nehme an, dass [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 3n
Das ist für mich logisch, und auch offensichtlich, weil die zwei Summanden vom Grad 2 und die Summanden auf der rechten Seite der Ungleichung vom Grad 2 und vom Grad 1 sind. Die rechte Seite kann also nur echt kleiner sein.
Jetzt die Frage, muss ich das auch noch extra irgendwie beweisen oder begründen, oder ist der Beweis so korrekt?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo,
> Zu zeigen [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{²}[/mm] , für alle n [mm]\ge[/mm] 5 , n [mm]\in \IN[/mm] ,
> Hallo,
> die Aufgabe ist nichts besonderes, trotzdem habe ich eine
> Frage zu dem Beweis, er sieht folgendermaßen aus.
>
> IA: n = 5 , 32 > 25, klar
>
> IV : [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{²}[/mm]
>
soll gelten für ein n [mm] \ge [/mm] 5
> IS : n -> n+1
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] = 2 * [mm]2^{n}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] >
> [mm]n^{2}[/mm] + 3n > [mm]n^{2}[/mm] + 2n + 1 = [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
Das ist ziemlich wild durcheinander bei dir, also jetzt mal sauber strukturiert:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2}+n^{2}
[/mm]
> So, meine Frage ist nun an der folgenden Stelle :
> Ich nehme an, dass [mm]n^{2}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] + 3n
> Das ist für mich logisch, und auch offensichtlich, weil
> die zwei Summanden vom Grad 2 und die Summanden auf der
> rechten Seite der Ungleichung vom Grad 2 und vom Grad 1
> sind. Die rechte Seite kann also nur echt kleiner sein.
> Jetzt die Frage, muss ich das auch noch extra irgendwie
> beweisen oder begründen, oder ist der Beweis so korrekt?
Für n=2 oder n=1 würde deine Behauptung so aber schiefgehen, du musst also auf jeden Fall auch argumentieren, dass n [mm] \ge [/mm] 5 ist als Begründung...
Von daher kannst du weitermachen mit [mm] n^{2}+n^{2} \ge n^{2}+5n [/mm] = [mm] n^{2}+ [/mm] 2n + 3n [mm] \ge n^{2}+ [/mm] 2n + 15 > [mm] n^{2}+ [/mm] 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2} \Box
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 03.11.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
ja klar, dieses n [mm] \ge [/mm] 5 steht ja schon in der Voraussetzung. Ich nehme es "mit". Ich habe halt nur nicht die Notwendigkeit gesehen, dieses n [mm] \ge [/mm] 5 aufzuschreiben. Aber danke für die Antwort, hat sich jetzt geklärt.
|
|
|
|
