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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Do 28.05.2009 | | Autor: | haruna |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{6*x^2}{x^3+5} dx} [/mm] |
Hey
Ich brauche umbedingt Hilfe welche Integralregeln ich hier anwenden kann. Zuerst habe ich gedacht ich könnte es mit Substitution ausprobieren und habe [mm] z=x^3+5 [/mm] gesetzt. Da kam ich allerdings nicht weiter.
Ich bekam folgendes raus:
[mm] z'=3*x^2
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{(6*x^2)*(\bruch{1}{z})*(x^3+5) dz}
[/mm]
Nun wusste ich nicht weiter..
Dann habe ich mir Partielle Integration angeschaut.. allerdings bezweifle ich das die hier zur Anwendungen kommen sollte.
Und mehr Regeln fallen mir nicht ein.. bzw. Partialbruchzerlegung habe ich überhaupt nicht verstanden.. wenn mir da jemand vielleicht ein einfachen Beispiel geben kann, wäre ich sehr dankbar.
Danke im voraus!
Haruna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo haruna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{6*x^2}{x^3+5} dx}[/mm]
> Hey
> Ich brauche umbedingt Hilfe welche Integralregeln ich hier
> anwenden kann. Zuerst habe ich gedacht ich könnte es mit
> Substitution ausprobieren und habe [mm]z=x^3+5[/mm] gesetzt. Da kam
> ich allerdings nicht weiter.
>
> Ich bekam folgendes raus:
> [mm]z'=3*x^2[/mm]
Richtigerweise muss hier stehen:
[mm]z' \ dz = 3 x^{2} \ dx[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{(6*x^2)*(\bruch{1}{z})*(x^3+5) dz}[/mm]
> Nun
> wusste ich nicht weiter..
Die Substitution ist ganz richtig.
Natürlich mußt Du hier auch die Grenzen substituieren.
Wendest Du diese Subsitution auf den Integranden an, dann ist
[mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{6*x^2}{x^3+5} dx}=\integral_{z_{1}}^{z_{2}}{\bruch{6*\bruch{z'}{3}}{z} \ dz}[/mm]
>
> Dann habe ich mir Partielle Integration angeschaut..
> allerdings bezweifle ich das die hier zur Anwendungen
> kommen sollte.
>
> Und mehr Regeln fallen mir nicht ein.. bzw.
> Partialbruchzerlegung habe ich überhaupt nicht verstanden..
> wenn mir da jemand vielleicht ein einfachen Beispiel geben
> kann, wäre ich sehr dankbar.
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung - Beispiele
>
> Danke im voraus!
> Haruna
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Fr 29.05.2009 | | Autor: | haruna |
Oke das mit dem Substituieren der Integrationsgrenzen hab ich verstanden..
[mm] \integral_{7}^{13}{\bruch{6* \bruch{z'}{3}}{z} dz}
[/mm]
Aber ich verstehe zwei Sachen nicht:
1. Ich dacht immer dass man z'= [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] berechnet
und dann wäre doch [mm] dx=\bruch{1}{z'}*dz.
[/mm]
Dazu kommt dann.. warum kein [mm] \bruch{1}{3*x^2} [/mm] vor dem dz steht..
sowie unten...
[mm] \integral_{7}^{13}{\bruch{6* \bruch{z'}{3}}{z} \bruch{1}{3*x^2} dz}
[/mm]
2. Wie müsste ich denn nun hier..
[mm] \integral_{7}^{13}{\bruch{6* \bruch{z'}{3}}{z} dz}
[/mm]
.. weitermachen?? Also eigentlich müsste ich ja nun zur Stammfunktion kommen... aber dass nun z und z' vorkommen verwirrt mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Ja, macht man auch so.
[mm] z=x^3+5 \Rightarrow \bruch{dz}{dx}=3x^2 \Rightarrow dx=\bruch{dz}{3x^2}
[/mm]
Wenn du das alles in dein Ausgangsintegral einsetzt:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{6x^2}{z} \bruch{dz}{3x^2}}=\integral_{}^{}{\bruch{2}{z} dz}=2ln|z|=2ln|x^3+5|+C
[/mm]
Da sieht man auch, wie man die Grenzen auch erstmal außen vor lassen kann: Einfach das unbestimmte Integral berechnen.
Und dann schreibe ich extra nochmal hin:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{6x^2}{x^3+5} dx}=[2ln|x^3+5|]_1^2, [/mm] da ich ja die Stammfunktion oben dann berechnet habe. Ist etwas sauberer als die Grenzen mittendrin wegzulassen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo haruna,
mich macht die Substitution bei der Integration immer fertig - deswegen hab ich mir einen Weg überlegt, wie ich genau dasselbe mache, aber für mich einfacher. Vielleicht kommst du ja auch damit klar:
Ich weiß, dass die Stammfunktion von [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] genau [mm]ln(f(x))[/mm] ist. Wenn ich also jetzt sehe, dass mein Integrand diese Form hat, dann integriere ich "direkt" mit einer Art "gedachten Substitution", d.h. ich sehe jetzt nur noch zu, dass oben wirklich die Ableitung von unten dem steht:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{6*x^2}{x^3+5} dx}=2*\integral_{1}^{2}{\bruch{3*x^2}{x^3+5} dx}[/mm]
(denn [mm]f(x)=x^3+5, also f'(x)=3x^2[/mm])
Daraus folgt dann sofort:
[mm]2*\integral_{1}^{2}{\bruch{3*x^2}{x^3+5} dx}=2*[ln(x^3+5]_1^2[/mm]
Kurze Bemerkung zur Substitution: ich finde das Ersetzen der Grenzen so lästig, aber das kann man natürlich vermeiden, indem man am Ende eine Rücksubstitution macht, wobei die Grenzen wieder zu den alten Grenzen werden. Das wäre dann also (bei mir) so:
Setze [mm]z := x^3+5[/mm], also ist [mm]\bruch{dz}{dx}=3x^2[/mm], und damit ist [mm]dx=\bruch{dz}{3x^2}[/mm].
Die Grenzen lasse ich einfach weg im Zwischenschritt:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{6*x^2}{x^3+5} dx}
=\integral_{}^{}{\bruch{6*x^2}{z}*\bruch{dz}{3x^2}}
=\integral_{}^{}{\bruch{2}{z}dz}[/mm]
[mm] =[2*ln(z)]=[2*ln(x^3+5)]_1^2
[/mm]
Mir ist bewusst, dass das mit den Grenzen unsauber ist, aber ich finde es so unnötig, weil ich diese substituierten Grenzen nur dann brauche, wenn ich das mit dem z bis zum Schluss durchziehe und mir eigentlich nur mehr Arbeit macht  .
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 29.05.2009 | | Autor: | haruna |
Danke euch Dreien für eure Hilfe.
Ich bin definitiv um einiges schlauer geworden =D
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