Frage zur Supremumsnorm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 01.04.2008 | | Autor: | JakobL |
Nabend allerseits,
ich habe mal eine Frage zur Supremumsnorm. In dem Skript meiner Analysis-Vorlesung steht nämlich folgendes:
"Wir bezeichnen mit B[a,b] den Raum der beschränkten Funktionen von [a,b] nach [mm]\IR[/mm]. Für f € B[a,b] setzen wir
||f|| := sup{f(x) : x € [a,b]}.
Man nennt ||f|| die Supremumsnorm."
Ich bin mir fast sicher, dass da die Betragsstriche um f(x) vergessen wurden oder? Habe nämlich im Forster die Definition mit Betragsstrichen gesehen. Dann verwirrt mich allerdings folgender Artikel in Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_norm
Dort steht nämlich, dass man die Supremumsnorm für stetige Funktionen auf dem geschlossenen Intervall auch mit dem Maximum gleichsetzen kann. Was ja der Theorie mit den Betragsstrichen widerspräche.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jakob,
du hast recht, es fehlen Betragstriche 
[mm] $||f||:=\sup\{\red{|}f(x)\red{|}\mid x\in [a,b]\}$
[/mm]
Da eine stetige Funktion auf einem Kompaktum - und ein abgeschlossenes Intervall ist ein Kompaktum - ihr Maximum annimmt, kannst du für stetige Funktionen das [mm] $\sup$ [/mm] durch [mm] $\max$ [/mm] ersetzen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 01.04.2008 | | Autor: | JakobL |
danke das beruhigt mich schonmal mit dem Betrag.
Aber ergibt sich dann nicht das Problem, dass Maximum nicht immer gleich der Supremumsnorm sein muss? Als Beispiel würde ich cos(x) - 1 eingeschränkt auf das kompakte Intervall [2,7] geben, bei dem das Maximum bei [mm]2\pi[/mm] also 0 wäre und die Supremumsnorm aber -2, wenn ich mich jetzt nicht komplett vertue. Das wäre ja ein Widerspruch zu dem Wikipedia-Artikel.
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Hallo nochmal,
wir betrachten aber doch die Beträge der Funktionswerte und nehmen davon das Supremum resp. das Maximum.
Und das ist hier $|-2|=2$ bei [mm] $x=\pi$
[/mm]
Also hier schön [mm] $\sup\{|f(x)|\mid x\in[2,7]\}=\max\{|f(x)|\mid x\in[2,7]\}=2$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Oder habe ich irgendwas falsch verstanden?
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 01.04.2008 | | Autor: | JakobL |
ja seh ich genauso. bloß in besagtem artikel (http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_norm) steht, dass man bei stetigen Funktionen wegen Weierstraß die Supremumsnorm durch das Maximum ersetzen kann. Meiner Meinung nach müsste man aber die Beträge aller Extremwerte vergleichen und davon der größte ist die Supremumsnorm denke ich.
Verwirrt mich alles ein bisschen, liegt vielleicht auch an einer falschen Übersetzung des Artikels meinerseits.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 01.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja seh ich genauso. bloß in besagtem artikel
> (![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_norm) steht, dass man
> bei stetigen Funktionen wegen Weierstraß die Supremumsnorm
> durch das Maximum ersetzen kann. Meiner Meinung nach müsste
> man aber die Beträge aller Extremwerte vergleichen und
> davon der größte ist die Supremumsnorm denke ich.
In dem von dir zitierten Wikipedia-Artikel stehen sowohl beim Supremum wie auch beim Maximum die Betragsstriche.
Im Übrigen ist, wie schachuzipus schon schrieb, das Supremum einer Funktion f auf einer kompakten Menge I gleich dem Maximum:
[mm] \sup_{x\in I} f (x) = \max _{x\in I} f (x)[/mm]
Das gilt auch für $|f|$:
[mm] \sup_{x\in I} |f (x)| = \max _{x\in I} |f (x)|[/mm]
Du musst nur die Betragsstriche konsequent setzen.
Viele Grüße
Rainer
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