Fragen für eine Klausur! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo
ich bin echt verzwifelt ich schreibe in Kürze KLausur und es gib immer noch ein paar Sachen die ich mir absolut nicht vorstellen kann, und mit denen ich deshalb noch Probleme habe.
Kann mir jemand verständlich erklären, was eine lineare Fotsetzung ist?
Oder ein Ringisomorphismus?
Oder eine duale Paarung?
Oder eine Koordinatenverktor bzw. Basisdarstellung?
Ich weiß, dass ich keine genaue Frage stelle oder eigene Ansätze einbringe, aber ich bin mit den Definitionen der Vorlesung Lineare Algebra 1 die ich besuche einfach nicht klar gekommen und hoffe auf Hilfe von euch!
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Hallo,
Du ahnst es selbst, Deine Fragen sind etwas allgemein, und es ist ja nicht so sinnig, hier ein Lehrbuch zu schreiben. Abgesehen davon, daß ICH es nicht könnte.
Wenn du die Definitionen nicht verstanden hast, ein Tip:
Kannst Du sie aufschreiben, also auswendig daherbeten mit Voraussetzungen? Manches muß man einfach erstmal schlucken und sich dann an Beispielen klar machen. Klar machen, was die Voraussetzungen bedeuten, und sich dann weiter vorarbeiten.
Verwendest Du mehrere Bücher? Mir hilft es oft, denselben Sachverhalt verschieden dargestellt zu lesen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
lineare Fortsetzung
Um eine lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ anzugeben, genügt es die Bilder der Basis festzulegen. Ist [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$ und setzt man
(*) [mm] $f(v_i):=w_i$,
[/mm]
dann kann man $f$ wie folgt linear fortsetzen (dadurch ist $f$ als lineare Abbildung, die (*) erfüllt, eindeutig bestimmt):
Ist $v = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i$, [/mm] dann setzt man:
$f(v):= [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{w_i}_{=f(v_i)}$.
[/mm]
Dadurch wird $f$ nach Konstruktion linear und erfüllt (*).
duale Paarung
Eine duale Paarung ist einfach eine nichtausgeartete Bilinearform, also eine bilineare Abbildung $s:V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K$ mit
1) Aus $s(v,w)=0$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ folgt: $v=0$.
2) Aus $s(v,w)=0$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$ folgt: $w=0$.
Koordinatenvektor
Es sei [mm] ${\cal B}=(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] eine fest gewählte Basis eines Vektorraums $V$. Dann gibt es für alle $v [mm] \in [/mm] V$ Skalare [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ [/mm] mit
[mm] $v=\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n$.
[/mm]
Man nennt dann [mm] $v_{{\cal B}}:=\pmat{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n}$ [/mm] den Koordinatenvektor von $v$ zur Basis [mm] ${\cal B}$.
[/mm]
So, was daran ist jetzt noch genau unklar? 
Viele Grüße
Stefan
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