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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Wir haben so ein kleines Quiz bekommen, die Fragen lauten:
Gibt es eigentlich:
a)...eine Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] deren Limes größer ist als ihr supremum [mm] sup{a_n: n\in \IN} [/mm] ?
b)...eine Folge an in IR mit einer streng monoton steigenden und einer streng monoton fallenden Teilfolge ?
c)...eine divergente Reihe, in der unendlich viele Partialsummen gleich [mm] \bruch{1}{10} [/mm] sind ?
d)...eine Darstellung von log als Potenzreihe der Form log [mm] z=\summe_{n=0}^{infty} a_n z^n [/mm] mit Konvergenzradius > 0 ?
e)...eine Folge von unstetigen Funktionen die gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert ?
Finden sie Beispiele oder begründen sie eine Nichtexistenz |
Ich würde sagen:
a) Gejt nicht. Eine konvergente folge ist ja beschränkt und konvergiert immer gegen ihr supremum oder Infimum in R.
Supremum bedeutet ja kleinste obere schranke. Wenn der limes größer als sup ist, gibt es ja eine zahl die größèr ist als sup, was nicht sein kann.
b) Das geht mit [mm] (-1)^n (\bruch{n+1}{n})^n
[/mm]
c)Wenn die Reihe diveriert, kann sie doch keinen reihenwert haben. Sind divergente Reihen nicht unbeschränkt ?
Das würde ich so zumindest begründen
d) hab ich leider keine ahnung, da könnte ich etwas starthilfe gebrauchen
e) Gleichmäßige konvergenz ist doch dazu gedacht, dass die Folge stetig ist. Ist die Funktion nicht stetig, so kann sie auch nicht gleichmäßig konvergent sein, oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 05.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben so ein kleines Quiz bekommen, die Fragen lauten:
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> Gibt es eigentlich:
>
> a)...eine Folge [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] deren Limes größer ist als ihr
> supremum [mm]sup{a_n: n\in \IN}[/mm] ?
>
> b)...eine Folge an in IR mit einer streng monoton
> steigenden und einer streng monoton fallenden Teilfolge ?
>
> c)...eine divergente Reihe, in der unendlich viele
> Partialsummen gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm] sind ?
>
> d)...eine Darstellung von log als Potenzreihe der Form log
> [mm]z=\summe_{n=0}^{infty} a_n z^n[/mm] mit Konvergenzradius > 0 ?
>
> e)...eine Folge von unstetigen Funktionen die gleichmäßig
> gegen eine stetige Funktion konvergiert ?
>
> Finden sie Beispiele oder begründen sie eine
> Nichtexistenz
> Ich würde sagen:
>
> a) Gejt nicht. Eine konvergente folge ist ja beschränkt
Ja
> und konvergiert immer gegen ihr supremum oder Infimum in
> R.
Das stimmt nicht. Nimm mal [mm] a_n=(-1)^n/n
[/mm]
Richtige begründung: ist s= sup [mm] a_n, [/mm] so ist [mm] a_n \le [/mm] s für alle n. Was gilt dan für den Grenzwert g von [mm] (a_n) [/mm] ?
g ? s
Was ist ?
> Supremum bedeutet ja kleinste obere schranke. Wenn der
> limes größer als sup ist, gibt es ja eine zahl die
> größèr ist als sup, was nicht sein kann.
>
> b) Das geht mit [mm](-1)^n (\bruch{n+1}{n})^n[/mm].
O.K.
O
>
> c)Wenn die Reihe diveriert, kann sie doch keinen reihenwert
> haben.
Davon ist doch nicht die Rede
> Sind divergente Reihen nicht unbeschränkt ?
Nicht immer.
Betrachte [mm] a_n=(-1)^{n+1}\bruch{1}{10} [/mm] und dann die Reihe [mm] \sum a_n
[/mm]
> Das würde ich so zumindest begründen
>
> d) hab ich leider keine ahnung, da könnte ich etwas
> starthilfe gebrauchen
bemühe google "Logarithmusreihe"
>
> e) Gleichmäßige konvergenz ist doch dazu gedacht, dass
> die Folge stetig ist. Ist die Funktion nicht stetig,
Das ist doch Unsinn !
> so
> kann sie auch nicht gleichmäßig konvergent sein, oder ?
Betrachte [mm] f_n:[0,1] \to \IR, [/mm] def. durch
[mm] f_n(0):=0, f_n(x):=1/n [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1]
FRED
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> > Wir haben so ein kleines Quiz bekommen, die Fragen lauten:
> >
> > Gibt es eigentlich:
> >
> > a)...eine Folge [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] deren Limes größer ist als ihr
> > supremum [mm]sup{a_n: n\in \IN}[/mm] ?
> >
> > b)...eine Folge an in IR mit einer streng monoton
> > steigenden und einer streng monoton fallenden Teilfolge ?
> >
> > c)...eine divergente Reihe, in der unendlich viele
> > Partialsummen gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm] sind ?
> >
> > d)...eine Darstellung von log als Potenzreihe der Form log
> > [mm]z=\summe_{n=0}^{infty} a_n z^n[/mm] mit Konvergenzradius > 0 ?
> >
> > e)...eine Folge von unstetigen Funktionen die gleichmäßig
> > gegen eine stetige Funktion konvergiert ?
> >
> > Finden sie Beispiele oder begründen sie eine
> > Nichtexistenz
> > Ich würde sagen:
> >
> > a) Gejt nicht. Eine konvergente folge ist ja beschränkt
>
> Ja
>
>
> > und konvergiert immer gegen ihr supremum oder Infimum in
> > R.
>
>
> Das stimmt nicht. Nimm mal [mm]a_n=(-1)^n/n[/mm]
>
>
> Richtige begründung: ist s= sup [mm]a_n,[/mm] so ist [mm]a_n \le[/mm] s für
> alle n. Was gilt dan für den Grenzwert g von [mm](a_n)[/mm] ?
>
> g ? s
>
> Was ist ?
>
Ich würde sagen, wenn s das supremum ist und g der grenzwert, dann gilt
[mm] g\le [/mm] s.
>
>
>
> > Supremum bedeutet ja kleinste obere schranke. Wenn der
> > limes größer als sup ist, gibt es ja eine zahl die
> > größèr ist als sup, was nicht sein kann.
> >
> > b) Das geht mit [mm](-1)^n (\bruch{n+1}{n})^n[/mm].
>
>
> O.K.
>
Super dann hab ich immerhin schonmal eine Sache richtig :)
>
> O
> >
> > c)Wenn die Reihe diveriert, kann sie doch keinen reihenwert
> > haben.
>
> Davon ist doch nicht die Rede
>
>
> > Sind divergente Reihen nicht unbeschränkt ?
>
>
> Nicht immer.
>
> Betrachte [mm]a_n=(-1)^{n+1}\bruch{1}{10}[/mm] und dann die Reihe
> [mm]\sum a_n[/mm]
>
Okay das hat mich überzeugt :P
> >
> >
> > d) hab ich leider keine ahnung, da könnte ich etwas
> > starthilfe gebrauchen
>
>
> bemühe google "Logarithmusreihe"
> > Hat mich bislang noch nicht wirklich weiter gebracht.
> > e) Gleichmäßige konvergenz ist doch dazu gedacht, dass
> > die Folge stetig ist. Ist die Funktion nicht stetig,
>
>
> Das ist doch Unsinn !
>
>
> > so
> > kann sie auch nicht gleichmäßig konvergent sein, oder ?
>
>
> Betrachte [mm]f_n:[0,1] \to \IR,[/mm] def. durch
>
> [mm]f_n(0):=0, f_n(x):=1/n[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1]
>
>
> FRED
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Hab mich da etwas vertan. Die grenzfunktion muss natürlich nur stetig sein, nicht aber die Funktion an sich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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