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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey, nach dem Forster gilt für [mm] $\IR^n$, [/mm] dass:
Sei G [mm] \subset \IR \times \IR^n [/mm] und $$f: G [mm] \to \IR^n, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)$$
eine bzgl. der Variablem y stetig partiell differenzierbare Funktion.
Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Das ist mir im mehr-dimensionalen klar, denn man kann die Lipschitzkonstante durch die Matrixnorm der zugehörigen Matrix bestimmen.
Wie sieht es aber im [mm] \IR [/mm] aus? Da muss ja die Ableitung von f beschränkt sein, damit ich die Lipschitzkonstante bequem berechne oder mein Definitionsbereich eben kompakt sein, damit ich ein Maximum habe.
Gilt dieser Satz überhaupt im eindimensionalen? Wäre 1/x auf [mm] (0,\infty) [/mm] ein Gegenbeispiel?
Eine andere Frage ist:
Wenn ich eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung habe, ist die Lösung ja eine Linearkombination aus der Basis des Kerns der Funktion. Und jenachdem, wie mein AWP gegeben ist, variieren die Koeffizienten dieser Linearkombination oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hey, nach dem Forster gilt für [mm]\IR^n[/mm], dass:
>
> Sei G [mm]\subset \IR \times \IR^n[/mm] und [mm]f: G \to \IR^n, (x,y) \mapsto f(x,y)[/mm]
>
> eine bzgl. der Variablem y stetig partiell differenzierbare
> Funktion.
> Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung.
>
> Das ist mir im mehr-dimensionalen klar, denn man kann die
> Lipschitzkonstante durch die Matrixnorm der zugehörigen
> Matrix bestimmen.
> Wie sieht es aber im [mm]\IR[/mm] aus?
komisch, das ist doch ein Spezialfall ??
> Da muss ja die Ableitung von
> f beschränkt sein,
Nein, es geht doch um "lokale" Lipschitzbedingung . Dann muß die Ableitung lokal beschränkt sein. Das ist sie aber, wenn sie stetig ist.
> damit ich die Lipschitzkonstante bequem
> berechne oder mein Definitionsbereich eben kompakt sein,
> damit ich ein Maximum habe.
> Gilt dieser Satz überhaupt im eindimensionalen?
Na klar.
> Wäre 1/x
> auf [mm](0,\infty)[/mm] ein Gegenbeispiel?
Nein.
>
> Eine andere Frage ist:
> Wenn ich eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung habe, ist
> die Lösung ja eine Linearkombination aus der Basis des
> Kerns der Funktion.
Welche Funktion meinst Du ???
> Und jenachdem, wie mein AWP gegeben
> ist, variieren die Koeffizienten dieser Linearkombination
> oder?
Selbstverständlich
FRED
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Also ist gilt dann der Satz auch im eindimensionalen?
ich konnte sonst nämlich nirgends einen ähnlichen satz finden. der stand nur im forster bzgl [mm] \IR^n.
[/mm]
Wäre denn aber nicht 1/z in [mm] (0,\infty) [/mm] stetig partiell differenzierbar, aber nicht lokal lipschitz in einer umgebung [mm] $B(0,\epsilon) \cap (0,\infty)$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ist gilt dann der Satz auch im eindimensionalen?
Na klar.
> ich konnte sonst nämlich nirgends einen ähnlichen satz
> finden. der stand nur im forster bzgl [mm]\IR^n.[/mm]
Willst Du mich verschaukeln ? Was ist denn [mm] \IR^n [/mm] für n=1 ????
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> Wäre denn aber nicht 1/z in [mm](0,\infty)[/mm] stetig partiell
> differenzierbar,
natürlich ist diese Funktion stetig differenzierbar , [mm] -1/z^2 [/mm] ist doch stetig !!!
> aber nicht lokal lipschitz in einer
> umgebung [mm]B(0,\epsilon) \cap (0,\infty)[/mm]?
Mann, mann:
für x,y> [mm] \varepsilon [/mm] ist
$|1/y-1/z| = [mm] \bruch{|y-z|}{yz} \le \bruch{|y-z|}{\varepsilon^2}$
[/mm]
FRED
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