Fragen zu Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen!
Ich habe eine kleine Verständnisfrage zum Thema Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom und Minimalpolynom. Ich klapper mal zur Übung nochmal alles ab. :)
Nehmen wir eine einfache Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Erstmal bilde ich das charakteristische Polynom char = (x*In - A)
und bekomme raus: (x-1)²
Nun sind die Eigenwerte ja die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Also 1.
Um die Eigenvektoren rauszukriegen setze ich die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] ein in: (A - [mm] \lambda*In). [/mm] Dort kriege ich dann: [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] heraus.
Das heißt mein Eigenvektor ist [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] Und der Eigenraum besteht ja aus den Eigenvektoren und dem Nullvektor.
Die Matrix [mm] A\in K^{nxn} [/mm] ist diagonalisierbar, wenn sie n paarweise verschiedene Eigenwerte hat. Wir haben ja als Eigenwert nur die 1. Also ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Ok jetzt aber zur Minimalpolynom. Das Minimalpolynom hat ja die selben Nullstellen wie das charakteristische Polynom. Außerdem ist es Teiler des charakteristischen Polynoms.
Und es gilt für das Minimalpolynom p: p(A) = 0.
So, das heißt ich muss die Matrix doch in mein Polynom einsetzen.
Wenn ich jetzt (x-1) überprüfe wäre es doch: (A - 1) und somit:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - 1 = 0
Aber darf ich das denn so machen und wie geht es weiter? Ich dachte man kann immer nur Matrizen voneinander subtrahieren.
Ich hoffe ihr könnt mir erklären, wie ich prüfe, ob das Minimalpolynom eines ist und vielleicht habt ihr ein paar Tipps wie ich meine Argumentation noch verbessern kann oder ob das so grob stimmt. :)
Liebe Grüße
Becks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Do 12.04.2007 | | Autor: | Becks |
Ich denke ich muss einfach die 1 mit der Einheitsmatrix multiplizieren oder?
Also:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] != 0
für (x-1)² also:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]
Also wäre (x-1)² das Minimalpolynom.
Richtig? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Do 12.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
so wie Du es in Deiner Mitteilung geschrieben hast, stimmt es. Das Minimalpolynom ist [mm] (x-1)^2. [/mm] Und weil eine Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren zerfällt, also höchste Potenz 1, ist die gewählte Beispielmatrix nicht diagonalisierbar.
mfg ullim
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