Fragen zum Spektralsatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 Do 16.09.2004 | | Autor: | Niels |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Servus.
Ich habe eine Frage zum Spektralsatz.
Wir haben ihn in dieser Form durchgenommen:
Zu jedem normalen Endomorphismus f von V besitzt V eine Orthogonalbasis von Eigenvektoren für f.
Nun kann ich diesen Satz in der Sekundärliteratur aber nur in der Form für selbstadjungierte Endomorphismen finden.
Für selbstadjungierte Endomorphismen bedeutet dieser Satz ja:
1.) Im Reellen:
Ist A eine symmetrische reelle Matrix, so existiert eine orthogonale Matrix T so, dass
T*A*T^-1
eine Diagonalmatrix ist.
2.) Im Komplexen:
Ist A eine hermitesche komplexe Matrix, so existiert eine unitäre Matrix T so, dass
T*A*T^-1
eine Diagonalmatrix ist.
Da wir diesen Satz aber sogar für normale Endomorphismen haben, welche Aussagen erhällt man anstelle von 1.) und 2.)?
Zusatzfrage:
Wir haben Hauptachsentransformation in einem extra Kapitel behandelt.
Bedeutet der Spektralsatz aber nicht gerade Hauptachsentransformation?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß
Nils
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niels!
> Ich habe eine Frage zum Spektralsatz.
> Wir haben ihn in dieser Form durchgenommen:
> Zu jedem normalen Endomorphismus f von V besitzt V eine
> Orthogonalbasis von Eigenvektoren für f.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dies gilt nur für unitäre Räume. Aber auch bei euklidischen (also reellen) Vektorräumen kann man von normalen Endomorphismen reden, und dann findet man im Allgemeinen keine Orthogonalbasis von Eigenvektoren.
> Nun kann ich diesen Satz in der Sekundärliteratur aber nur
> in der Form für selbstadjungierte Endomorphismen finden.
>
> Für selbstadjungierte Endomorphismen bedeutet dieser Satz
> ja:
>
> 1.) Im Reellen:
> Ist A eine symmetrische reelle Matrix, so existiert eine
> orthogonale Matrix T so, dass
> T*A*T^-1
> eine Diagonalmatrix ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) Im Komplexen:
> Ist A eine hermitesche komplexe Matrix, so existiert eine
> unitäre Matrix T so, dass
> T*A*T^-1
> eine Diagonalmatrix ist.
> Da wir diesen Satz aber sogar für normale Endomorphismen
> haben, welche Aussagen erhällt man anstelle von 1.) und
> 2.)?
Bei 2) ändert sich nichts. 1) dagegen kann nicht erhalten werden, man erhält nur eine schwächere Variante mit lauter invarianten Unterräumen, wo die Matrixdarstellung gerade jeweils etweder Diagonalgestalt hat (das sind die Eigenvektoren) oder aber aus Drehmatrizen besteht, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 2.
> Zusatzfrage:
> Wir haben Hauptachsentransformation in einem extra Kapitel
> behandelt.
> Bedeutet der Spektralsatz aber nicht gerade
> Hauptachsentransformation?
Nein. Oben wird ja explizit gesagt, dass man orthogonal (bzw. unitär diagonalisieren kann), d.h. es gibt eine orthogonale (bzw. unitäre) Matrix $T$, so dass
[mm] $TAT^{-1}$ [/mm] (bzw. [mm] $\bar{T}AT^{-1}$) [/mm]
Diagonalgestalt hat.
Bei dem Sylvesterschen Trägheitssatz für symmetrische Bilinearformen (bzw. deren darstellende Matrizen $A$) findet man eine invertierbare Matrix, so dass
[mm] $TAT^{-1}$
[/mm]
nur aus $1$en, $-1$en und $0$en besteht.
Dieses $T$ ist aber im Allgemeinen nicht orthogonal. Es handelt sich also um keine (orthogonale) Diagonalisierung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Do 16.09.2004 | | Autor: | Niels |
Auch hier warst du eine große Hilfe.
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Niels |
Moment! Noch eine Frage:
Bei uns:
Satz über Hauptachsentransformation
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix T so, dass T * A * T´ (soll bedeuten T transponiert) diagonal ist.
Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen im Reellen
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix T so, dass T * A * T^-1 diagonal ist.
Da für orthogonale Matrizen T gilt:
T ist invertierbar und
T^-1 = T´ (T transponiert)
bedeuten der Satz über die Hauptachsentransformation und Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen im Reellen aber dasselbe, oder nicht?
Hoffe du kannst mir wieder helfen. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niels!
> Bei uns:
>
> Satz über Hauptachsentransformation
> Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine
> orthogonale Matrix T so, dass T * A * T´ (soll bedeuten T
> transponiert) diagonal ist.
>
> Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen im
> Reellen
> Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine
> orthogonale Matrix T so, dass T * A * T^-1 diagonal ist.
>
>
> Da für orthogonale Matrizen T gilt:
>
> T ist invertierbar und
> T^-1 = T´ (T transponiert)
>
> bedeuten der Satz über die Hauptachsentransformation und
> Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen im
> Reellen aber dasselbe, oder nicht?
Ja, so wie du die beiden Sätze angegeben hast, bedeuten sie das Gleiche.
Ich kenne die Hauptachsentransformation so, dass auf der Diagonalen tatsächlich nur $1$en, $-1$en und $0$en stehen. In diesem Fall kann dann $T$ nicht mehr orthogonal gewählt werden (man kann dann zwar erreichen, dass die Spalten von $T$ orthogonal sind, aber nicht mehr notwendigerweise auf $1$ normiert - bezüglich des Standardskalarproduktes, versteht sich).
Aber mit deinen Formulierungen der Sätze hast du vollkommen Recht - sie sind gleichwertig. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Niels |
Dankeschön.
Jetzt ist alles klar.
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