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| Aufgabe 1 | Wieso gilt:
[mm] Int(1/\wurzel{a²-u²}))du [/mm] = arcsin(u/a) + c |
| Aufgabe 2 | Wieso gilt:
$ Int(1/(a²+u²))du $ = 1/a*arctan(u/a)+c |
| Aufgabe 3 | Wieso gilt:
[mm] Int(b^u)du [/mm] = [mm] b^u [/mm] / ln(b) + c ; b#1 |
| Aufgabe 4 | Herleitung von arcsinh(x).
(*)"x=sinh(y) = [mm] (e^y [/mm] - [mm] e^{-y}) [/mm] / 2
=> [mm] e^y [/mm] - 2x - [mm] e^{-y} [/mm] =0 | * [mm] e^y
[/mm]
=> [mm] 2^{2y} [/mm] - [mm] 2xe^y [/mm] - 1 = 0
Pq-Formel: => x ± [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
Die Lösung mit dem Minus ist unwahr:
=> [mm] e^y [/mm] = x + [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
Verwendung des natülichen Logarythmus:
y = ln(x + [mm] \wurzel{x² + 1}) [/mm] oder
(**)arcsinh(x) = ln(x + [mm] \wurzel{x² + 1} [/mm]
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| Aufgabe 5 | Wieso gilt:
$ Int(1/ [mm] \wurzel{4x²-9})dx [/mm] $ = (1/2)*ln(2x [mm] +\wurzel{4x²+9}) [/mm] + c |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:https://matheraum.de/forum?f=89
Trotzdem hab ich mind. 30min an DIESEM Beitrag "rumgwerkelt" bis das mit den Formeln so geklappt hat wie ich wollte. Jetzt hoffe ich nur, dass ich gegen keine Regel verstoßen hab.
Hallo,
ich hab heute bissl mathe gelernt und da ergaben sich gleich ne ganze menge fragen. es wäre nett wenn ihr mir weiter helfen könntet. alleine komm ich nicht drauf. es braucht auch nicht einer alleine alle fragen zu beantworten, es wär aber gut wenn ich zu allen problemen in den nächsten tagen die lösungen wüsste.
danke schon im voraus!
Frage 1:
Wieso gilt:
$ Int(1/(a²+u²))du $ = 1/a*arctan(u/a)+c
Wenn ich das durchrechne sieht das wie folgt aus.
Erst hab ich a² ausgeklammert und dann vors Integral gezogen:
$ Int(1/(a²+u²))du $ = $ Int(1/(a²(1+(u/a)²)))du $
=(1/a²)* $ Int(1/(1+(u/a)²) $
=1/a²*arctan(u/a)+c
Meine Lösung stimmt mit der tatsächlichen überein, nur habe ich 1/a² statt 1/a. Und wenn man $ Int(1/(u*sqrt(u²-a²))du $ auf diese weise integriert kommt ja auch das richtige Ergebnis raus (= (1/a)*arcsec(U)+c). Warum klappt das bei den Aufgaben von Frage 2 und 3 nicht?
Frage 2
Wieso gilt:
[mm] Int(1/\wurzel{a²-u²}))du [/mm] = arcsin(u/a) + c
Ich habe es durch ausklammern, den Faktor vor das Integral ziehen und Substitution integriert und es kommt raus:
1/a*arcsin(u/a) + c
Frage 3:
Wieso gilt: [mm] Int(b^u)du [/mm] = [mm] b^u [/mm] / ln(b) + c ; b#1
Frage 4:
Es geht um die Herleitung von arcsinh(x). Am besten schreib ich mal ab, was im Buch steht, damit jeder folgen kann (an den Stellen, wo solche Symbole sind "(*)" versteh ich etwas nicht):
(*)"x=sinh(y) = [mm] (e^y [/mm] - [mm] e^{-y}) [/mm] / 2
=> [mm] e^y [/mm] - 2x - [mm] e^{-y} [/mm] =0 | * [mm] e^y
[/mm]
=> [mm] 2^{2y} [/mm] - [mm] 2xe^y [/mm] - 1 = 0
Pq-Formel: => x ± [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
Die Lösung mit dem Minus ist unwahr:
=> [mm] e^y [/mm] = x + [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
Verwendung des natülichen Logarythmus:
y = ln(x + [mm] \wurzel{x² + 1}) [/mm] oder
(**)arcsinh(x) = ln(x + [mm] \wurzel{x² + 1} [/mm]
(*)Die einzelnen Schritte verstehe ich aber ich weiß nicht wie man ganz am Anfang auf diese gleichung kommt:
x = sinh(y)
(**)Und warum entspricht das "y" der Lösung arcsinh(x)???
Frage 5 (die letzte....für heute :wink: ):
Wieso gilt:
$ Int(1/ [mm] \wurzel{4x²-9})dx [/mm] $ = (1/2)*ln(2x [mm] +\wurzel{4x²+9}) [/mm] + c
Wenn den Term durch ausklammern etc. auf die Form $ Int(1/ [mm] \wurzel{u²-a²})du [/mm] $ erhalte ich folgende Lösung:
$ [mm] Int(1/(2\wurzel{x²-(3/2)²}))dx [/mm] $ = [mm] (1/2)*ln(x+\wurzel{x²-(9/4})) [/mm] + c
Ich bin durch diese Eigenschaft auf meine (leider falsche) Lösung gekommen:
$ Int(1/ [mm] \wurzel{u²-a²})du [/mm] $ = [mm] ln(u+\wurzel{u²-a²}) [/mm] + c ; u> a ;Formel gilt wenn a> 0
DANKE
ps: Ich habe die Aufgabenstellungen zu den jeweiligen Fragen immer nochmals dazugeschrieben, damit man nicht immer hochscrollen muss. Ich hoffe das ist kein Regelverstoß.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Frage 1:
> Wieso gilt:
> [mm]\int\bruch{1}{a²+u²} \, du= \bruch{1}{[red]a[/red]}\arctan (\bruch{u}{a})+c [/mm]
>
> Wenn ich das durchrechne sieht das wie folgt aus.
> Erst hab ich a² ausgeklammert und dann vors Integral
> gezogen:
>
> [mm]Int(1/(a²+u²))du[/mm] = [mm]Int(1/(a²(1+(u/a)²)))du[/mm]
> =(1/a²)* [mm]Int(1/(1+(u/a)²)[/mm]
> =1/a²*arctan(u/a)+c
Vorsicht mit der Substitution! Du substituierst [mm]u= \red{a} \cdot \tan x[/mm]. Dann:
[mm]\bruch{du}{dx}=\red{a} \bruch{1}{\cos^2x}[/mm] und daher:
[mm]\int \bruch{1}{a^2+u^2} \, du =\int \bruch{1}{a^2+a^2 \tan^2 x} \cdot \bruch{a}{\cos^2 x} \, dx
=\int \bruch{1}{a^2(1+ \tan^2 x)} \bruch{a}{\cos^2 x} \, dx
=\int \bruch{\cos^2 x}{\red{a^2}} \bruch{\red{a}}{\cos^2 x} \, dx
= \ldots
[/mm]
Du nutzt dabei, dass [mm] $1+\tan^2 x=\bruch{1}{\cos^2 x}$!
[/mm]
Wenn du das ohne Substitution lösen möchtest und das Integral auf [mm]\int \bruch{1}{1+x^2} \, dx[/mm] zurückführen möchtest, mußt du natürlich auf die innere Ableitung von [mm] $\arcsin(\bruch{u}{a})$ [/mm] achten!
>
>
> Frage 2
>
> Wieso gilt:
> [mm]Int(1/\wurzel{a²-u²}))du[/mm] = arcsin(u/a) + c
>
> Ich habe es durch ausklammern, den Faktor vor das Integral
> ziehen und Substitution integriert und es kommt raus:
> 1/a*arcsin(u/a) + c
>
Auch hier wieder auf die innere Ableitung von [mm] $\arcsin (\bruch{u}{a})$ [/mm] achten. Oder am besten gleich die Substitution [mm]u= a \sin x[/mm] nutzen, dann können diese Fehler nicht auftreten. 
>
> Frage 4:
>
> Es geht um die Herleitung von arcsinh(x). Am besten schreib
> ich mal ab, was im Buch steht, damit jeder folgen kann (an
> den Stellen, wo solche Symbole sind "(*)" versteh ich etwas
> nicht):
> (*)"x=sinh(y) = [mm](e^y[/mm] - [mm]e^{-y})[/mm] / 2
> => [mm]e^y[/mm] - 2x - [mm]e^{-y}[/mm] =0 | * [mm]e^y[/mm]
> => [mm]2^{2y}[/mm] - [mm]2xe^y[/mm] - 1 = 0
> Pq-Formel: => x ± [mm]\wurzel{x²+1}[/mm]
> Die Lösung mit dem Minus ist unwahr:
> => [mm]e^y[/mm] = x + [mm]\wurzel{x²+1}[/mm]
>
> Verwendung des natülichen Logarythmus:
> y = ln(x + [mm]\wurzel{x² + 1})[/mm] oder
> (**)arcsinh(x) = ln(x + [mm]\wurzel{x² + 1}[/mm]
>
>
> (*)Die einzelnen Schritte verstehe ich aber ich weiß nicht
> wie man ganz am Anfang auf diese gleichung kommt:
> x = sinh(y)
>
> (**)Und warum entspricht das "y" der Lösung arcsinh(x)???
>
Das hat jetzt nicht direkt was mit Integration zu tun, insofern solltest du so eine Frage in Zukunft besser in einem neuen Strang stellen!
Was machst du denn immer, um die Unkehrfunktion zu bestimmen? Du stellst die Funktionsvorschrift [mm]y=f(x)[/mm] nach [mm]x[/mm] um und vertauschst dann die Rollen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]! Das ist dasselbe, als ob du [mm] $x=f(y)=\sinh(y)$ [/mm] nach [mm]y[/mm] umstellst. Klar?
So, das reicht erstmal! 
> ps: Ich habe die Aufgabenstellungen zu den jeweiligen
> Fragen immer nochmals dazugeschrieben, damit man nicht
> immer hochscrollen muss. Ich hoffe das ist kein
> Regelverstoß.
Nein, natürlich nicht! Lieber einmal zu viel als einmal zu wenig. Trotzdem ein kleiner Hinweis: Deine Fragen waren etwas unübersichtlich und dadurch schwer zu lesen. Es wäre besser, wenn du (im oberen Fenster oben - zumindest in einem neuen Strang) zunächst nur die Aufgabe angibst und unten zu den Aufgaben passend die Fragen stellst, also z.B. "Zur Aufgabe 1 habe ich folgende Fragen:..." Ich bin nämlich erst mit deiner Frage 1 und Aufgabe 1 durcheinandergekommen!
Ich hoffe, meine Hinweise haben dir etwas geholfen!
Viele Grüße
Astrid
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo czernobill!
> Wieso gilt: [mm]\integral{b^u \ du}[/mm] = [mm]b^u[/mm] / ln(b) + c ; [mm] b\not=1
[/mm]
Beachte folgende Umformung:
[mm] $b^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(b)} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(b)*x}$
[/mm]
Und mit der Substitution $z \ := \ [mm] \ln(b)*x$ [/mm] erhältst Du dann das vorgegebene Ergebnis.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo nochmal,
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> Frage 5 (die letzte....für heute :wink: ):
>
> Wieso gilt:
> [mm]Int(1/ \wurzel{4x²-9})dx[/mm] = (1/2)*ln(2x [mm]+\wurzel{4x²+9})[/mm] +
> c
>
> Wenn den Term durch ausklammern etc. auf die Form [mm]Int(1/ \wurzel{u²-a²})du[/mm]
> erhalte ich folgende Lösung:
>
> [mm]Int(1/(2\wurzel{x²-(3/2)²}))dx[/mm] =
> [mm](1/2)*ln(x+\wurzel{x²-(9/4}))[/mm] + c
Wenn man die Lösung von oben weiter umformt, gilt:
[mm] \bruch{1}{2} \cdot \ln(2x + \wurzel{4x^2+9})+c=
\bruch{1}{2} \cdot \ln\big( 2 \left(x+\wurzel{x^2+\bruch{9}{4}}\right)\big)+c=
\bruch{1}{2} \cdot \left(\ln 2 + \ln (x+\wurzel{x^2+\bruch{9}{4}})+c\right)=
\mbox{Deine Loesung}+\bruch{c+\ln 2}{2}[/mm]
Aber da [mm] $\ln [/mm] 2$ ja auch nur eine Konstante ist, stimmen beide Lösungen überein!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Sa 18.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Da ist nichts falsch. Du kannst den Term unterm Logarithmus umformen und dann nach den Rechenregeln für Logarithmen eine Konstante abspalten. Die schluckt dann das c und alles ist gleich.
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