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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 15.01.2009 | | Autor: | silfide |
Kann mir jemand (am besten)die einfachste Art und Weise erklären wie ich Fraktale berechnen kann? Julia hat das ja auch geschafft!
Habe mir gerade schon Julia, Apfelmännchen und Chaostheorie angeschaut, steige aber nicht wirklich hinter.
Gibt es essentiell wichtige Themen, welche man sich vorher anschauen sollte?
Silfide
P.S. Ich weißt auch, das man für die einfachsten Fraktal Jahrtausende braucht, mich interessiert vorallem der Anfang.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 15.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was für ein Zufall: Damit habe ich mich heute auch mal etwas befasst.
Daher kann ich dir da helfen!
Eventuell hast du was von der Vorschrift [mm] z_{n+1}=z_n^2+c [/mm] gelesen, wobei c eine beliebige, komplexe Zahl ist. Das bräuchte man auch als Theorie. Eine komplexe Zahl lässt sich eben nicht auf einer Zahlengerade darstellen, wie reelle Zahlen, sondern in einer Zahlenebene. Für weitere Infos (oder vielleicht weißt du das ja schon) guck einfach mal auf Wikipedia!
Wichtig ist, dass eine komplexe Zahl als Punkt in der Ebene dargestellt werden kann und dass sie einen Betrag besitzt (für z=a+bi ist der Betrag [mm] |z|=\wurzel{a²+b²}).
[/mm]
Nun nimmt sich der Computer alle Punkte vor, die er so erfassen kann und jagt diese durch diese Iterationsformel [mm] z_{n+1}=z_n^2+c.
[/mm]
Für [mm] z_1=3+7i [/mm] (würde den Punkt P(3|7) in der Ebene darstellen) und c=1+2i erhält man dann z.B. [mm] z_2=(3+7i)+(1+2i)=4+9i. [/mm] Damit kann man dann [mm] z_3 [/mm] berechnen u.s.w.
Wichtig daran sind die Beträge dieser komplexen Zahlen [mm] (|z_2|=\wurzel{97}). [/mm] Für manche Anfangspunkt [mm] z_1 [/mm] strebt der Betrag der folgenden Zahlen, die durch diese Iterationsvorschrift entstehen, gegen einen festen Betrag. Aber wenn du eine andere Zahl als [mm] z_1 [/mm] nimmst, kann es passieren, dass der Betrag der Zahl ins Unendliche geht.
Dann hat man wohl herausgefunden, dass, wenn ein Folgenglied einen Betrag größer als 2 hat, diese Folge divergiert.
Das ist das wichtige für die Farben: Man kann z.B. folgendes festlegen:
Ist nach 1-3 Iterationsschritten der Betrag der Zahl größer als 2, färbe den Anfangspunkt [mm] (z_1) [/mm] rot.
Ist nach 4-6 Iterationsschritten der Betrag der Zahl größer als 2, färbe den Anfangspunkt [mm] (z_1) [/mm] orange.
Ist nach 7-10 Iterationsschritten der Betrag der Zahl größer als 2, färbe den Anfangspunkt [mm] (z_1) [/mm] gelb.
...
Also je nach dem, wie lange es dauert, bis ein Folgenglied einen Betrag >2 hat, fällt die Farbe anders aus.
Also nochmal kurz: Es wird sich jeder Punkt der Ebene geschnappt und in die Formel gesteckt. Die Formel wird so lange ausgeführt, bis der Betrag der Zahl >2 ist, danach wird abhängig von der Schrittanzahl der Anfangspunkt, den man also zuerst in die Formel gesteckt hat, gefärbt.
So, hoffe, dass das alles so stimmt, wäre aber froh, wenn sich das jemand durchliest und berichtigt!
Edit: Natürlich kann man auch andere Iterationsvorschriften nehmen, die dann zu anderen schönen Fraktalen führen. [mm] z_{n+1}=z_n+c [/mm] führt speziell zum Apfelmännchen.
Guck am besten noch das an: tp.tugraz.at/MML/Fractal/fractal.pdf.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Fr 16.01.2009 | | Autor: | silfide |
Ja, das mit den Zahlenebene kenne ich. Die Formel habe ich schon öfter gefunden und frage mich einfach nur noch was i ist.
Das mit den Farben, hast du schön erklärt, hatte mich schon gefragt, wieso wann welche Farbe zum Einsatz kommt.
Hast du bei deinen Recherchen ein Programm zum generieren von Fraktale gefunden - ich bin leider nur auf 404 Fehler und Dokumentationen von der Erstellung von Programmen gekommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Hm, irgendwo hatte ich mal eins für die Mandelbrotmenge gesehen, aber keine Ahnung mehr wo das war.
Und das i ist die imaginäre Einheit. Es gilt: i²=-1. i wurde eingeführt, um z.B. die Gleichung x²=-1 lösen zu können, was ja im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich war.
Wie schon erwähnt, kann man komplexe Zahlen aus z=a+bi darstellen. Man kann mit ihnen wie mit reellen Zahlen rechnen und i², wenn es denn irgendwo vorkommen sollte, immer durch -1 ersetzen.
Kleines Beispiel: z=3+4i
[mm] z²=(3+4i)²=9+14i+\underbrace{16i²}_{=-16}=-7+14i
[/mm]
Teufel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:54 So 18.01.2009 | | Autor: | silfide |
Ich wurde noch darauf gestossen, dass es bei Handy Flächenantennen ähnlich sei, doch ich glaube ich kann nicht vernünftig googlen. Lande immer beim Elektrosmoke.
Hast du darüber was gefunden, bei deinen Recherchen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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