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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Do 05.07.2007 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Es sei d die Französische Eisenbahnmetrik auf dem [mm] \IR² [/mm] , der dort fixierte Punkt P habe die Koordinaten P= (0,0). Sei S={(x,y) [mm] \IR² [/mm] / x²+y²=1}.
Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
a) S ist in [mm] (\IR²,d) [/mm] kompakt
b) S ist in [mm] (\IR²,d) [/mm] abgeschlossen |
hi,
weiß zwar was die französische Eisenbahnmetrik ist bloß weiß nicht wie ich an diese Aufgabe vorangehen soll!verstehe das mit dem fixierten Punkt nicht so wirklich!:(
würde mich um hilfe freuen!
danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei d die Französische Eisenbahnmetrik auf dem [mm]\IR²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
> der dort fixierte Punkt P habe die Koordinaten P= (0,0).
> Sei S={(x,y) [mm]\IR²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
/ x²+y²=1}.
>
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
>
> a) S ist in [mm](\IR²,d)[/mm] kompakt
> b) S ist in [mm](\IR²,d)[/mm] abgeschlossen
> hi,
>
> weiß zwar was die französische Eisenbahnmetrik ist bloß
> weiß nicht wie ich an diese Aufgabe vorangehen
> soll!verstehe das mit dem fixierten Punkt nicht so
> wirklich!:(
Hallo,
wenn Du die französische Eisenbahnmetrik halbwegs verstanden hast: der Punkt P=(0,0) ist "Paris", wo die Strecken sternförmig zusammenlaufen. Der Punkt, zu dem die Abstände gemessen werden.
Man könnte ja genausogut Q:=(-7, 29) als Fixpunkt der Eisenbahnmetrik wählen. Die Angabe des Bezugspunktes gehört bei dieser Metrik immer mit dazu. In Deiner Aufgabe ist es eben P=(0,0) - was fürs Rechnen auch behaglicher ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 10.07.2007 | | Autor: | nimet |
hallo,
genau das ist es!ich habe sie nämlich nicht verstanden!ich weiß garnicht wie ich an die aufgabe ran gehen soll!:(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 10.07.2007 | | Autor: | dormant |
(In der 1. Version habe ich versucht Kompaktheit zu zeigen und kam auf einen Widerspruch. Hier widerlege ich die erste Aussage)
Hi!
Ich würde so vorgehen:
i) zeigen, dass S abgeschlossen ist;
ii) zeigen, dass S beschränkt ist.
Aus i) und ii) folgt ja die Kompaktheit. Falls das eine oder andere nicht zutrifft, dann ist die Menge nicht kompakt.
Zu i): zeige, dass [mm] \IR^{2}\setminus [/mm] S offen ist. Dazu sei [mm] v:=\vektor{x \\ y}\in\IR^{2} [/mm] beliebig mit der Eigenschaft [mm] x^{2}+y^{2}>1 [/mm] was mit der Standardnorm das gleiche ist wie ||v||>1. Jetzt will man zeigen, dass man ein [mm] \epsilon [/mm] >0 finden kann, so dass kein Punkt aus [mm] K_{\epsilon}(v):=\{w\in\IR^{2} : d(v,w)<\epsilon \} [/mm] in S liegt, oder dass für alle w aus dieser Kugel ||w||>1 gilt. Dazu betrachten wir zwei Fälle: v, w und P liegen auf einer Geraden, was geleichbedeutend ist mit [mm] w=\lambda*v. [/mm] Und der zweite Fall ist, v, w und P liegen nicht auf einer Geraden. Im ersten Fall ist [mm] \epsilon>d(v,w)=||v-w||=||(1-\lambda)v||=|1-\lambda|*||v||>|1-\lambda| [/mm] und im zweiten - [mm] \epsilon>d(v,w)=||v||+||w||>1+|\lambda|>1. [/mm] Jetzt hat man zwei Abschätzungen für ein und das selbe [mm] \epsilon:
[/mm]
i) [mm] \epsilon>|1-\lambda|,
[/mm]
ii) [mm] \epsilon>1.
[/mm]
Jetzt kann man einfach als w den Punkt P wählen, somit wäre [mm] \lambda=0 [/mm] und P liegt in der Kugel um v, was zu einem Widerspruch führt, da P auch in S liegt. Anders überlegt ist jede Kugel mit Radius<=1 um einen Punkt v außerhalb von S enthält nur Punkte, die auf einer Geraden mit P liegen, der Punkt v selbst und alle anderen sind aber in dieser Kugel nicht enthalten.
Beschränktheit zeigen ist nicht so schwierig.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Di 10.07.2007 | | Autor: | dormant |
Achso, in der Aufgabe steht es beweisen oder widerlegen... naja, dann hab ich's wohl widerlegt :)
Gruß,
dormant
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