Freie Lie-Algebra auf {x,y} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring.
Zeige, dass die freie Lie Algebra auf der Menge {x,y}(geschrieben f({x, y})) ein graduierter freier R-Modul mit einer unendlichen Basis x, y, [x,y], [x,[x,y]], [y,[x,y]], [x,[x,[x,y]]], [x,[y,[x,y]]], [y,[y,[x,y]]], ... ist, wobei [.,.] die Lie-Klammer auf f({x,y}) bezeichne. |
Hallo Leute,
ich beschäftige mich zurzeit mit Lie-Algebren und arbeite deshalb das entsprechende Kapitel in Charles Weibels Buch "An Introduction to homological algebra" durch. Jetzt bin ich leider an dieser obigen Übungsaufgabe angelangt, an welcher ich nicht so recht weiter weiß.
Meine Ideen: Der freie R-Modul zur Basis {x, y} ist , also gilt , da die freie Lie-Algebra auf einer Menge gerade so definiert ist. So wie ich das verstanden habe müsste ich jetzt zeigen, dass gilt: mit usw.
Dazu müsste ich zeigen, dass die universelle Eigenschaft einer freien Lie-Algebra erfüllt, d.h. für jede R-lineare Abbildung , wobei eine Lie-Algebra ist, existiert eine eindeutige Fortsetzung zu einen Lie-Algebra-Homomorphismus .
Allerdings ist mir das ganze ziemlich suspekt. Wie genau soll sich denn eine Abbildung auf fortsetzen, und was genau hat das mit den Lie-Klammern als Basis auf sich?
Wäre nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte, ich seh leider absolut nicht, wie das gehen soll.
Ich habe diese Frage auch in einem anderen Forum gestellt, hier der Link zum entsprechenden Thread: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=179571
Leider verstehe ich den Hinweis nicht und da sich nun seit 2 Tagen niemand mehr gemeldet hat, dachte ich, ich frag auch mal hier nach 
Viele Grüße
Anfänger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 24.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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