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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:30 Mi 20.05.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | | Es sei R ein Ring und $a [mm] \not= [/mm] (0)$ ein Ideal in $R$. Zeigen Sie: $a$ ist genau dann ein freier $R$-Modul, wenn $a$ ein Hauptideal ist, welches von einem Nichtnullteiler erzeugt wird. |
Hallo,
wenn ich zuerst voraussetze, dass $a$ ein Hauptideal ist (welches nicht von einem Nullteiler erzeugt wird), dann gibt es ja ein Element $x [mm] \in [/mm] R$ ($x$ ist kein Nullteiler), welches $a$ erzeugt; also [mm] $a=(x)=\{ra | r \in R \}$ [/mm] - Somit wäre ja $x$ schon eine Basis von $a$ und folglich ist das Ideal $a$ ein freier $R$-Modul.
Und die andere Richtung: Ich setze voraus, dass $a$ ein freier $R$-Modul ist. Das heißt, dass $a$ eine Basis besitzt. Die Basis muss einelementig sein (ich nenne es einfach wieder $x$), weil zwei beliebige Elemente des Ideals linear abhängig sind. $x$ muss so gewählt werden, dass es kein Nullteiler ist, denn dann gäbe es ein $y$ mit der Eigenschaft $xy=0, x [mm] \not [/mm] = 0, y [mm] \not= [/mm] 0$. Also ist $a$ ein Hauptideal (da nur von einem einzigen Element aus dem Ring $R$ erzeugt).
Ich bin mir noch ziehmlich unsicher, ob das so in Ordnung ist. Es wäre schön, wenn es jemand überprüfen könnte.
Danke und viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:39 Mi 20.05.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Kevin!
> Es sei R ein Ring und [mm]a \not= (0)[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm]. Zeigen
> Sie: [mm]a[/mm] ist genau dann ein freier [mm]R[/mm]-Modul, wenn [mm]a[/mm] ein
> Hauptideal ist, welches von einem Nichtnullteiler erzeugt
> wird.
>
> Hallo,
>
> wenn ich zuerst voraussetze, dass [mm]a[/mm] ein Hauptideal ist
> (welches nicht von einem Nullteiler erzeugt wird), dann
> gibt es ja ein Element [mm]x \in R[/mm] ([mm]x[/mm] ist kein Nullteiler),
> welches [mm]a[/mm] erzeugt; also [mm]a=(x)=\{ra | r \in R \}[/mm] - Somit
> wäre ja [mm]x[/mm] schon eine Basis von [mm]a[/mm] und folglich ist das Ideal
> [mm]a[/mm] ein freier [mm]R[/mm]-Modul.
Nun, das $x$ eine Basis ist folgt daraus, dass $x$ ein Nichtnullteiler ist. Das solltest du noch besser erwaehnen.
> Und die andere Richtung: Ich setze voraus, dass [mm]a[/mm] ein
> freier [mm]R[/mm]-Modul ist. Das heißt, dass [mm]a[/mm] eine Basis besitzt.
> Die Basis muss einelementig sein (ich nenne es einfach
> wieder [mm]x[/mm]), weil zwei beliebige Elemente des Ideals linear
> abhängig sind.
Genau.
> [mm]x[/mm] muss so gewählt werden, dass es kein
> Nullteiler ist, denn dann gäbe es ein [mm]y[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]xy=0, x \not = 0, y \not= 0[/mm]. Also ist [mm]a[/mm] ein Hauptideal (da
> nur von einem einzigen Element aus dem Ring [mm]R[/mm] erzeugt).
Genau.
> Ich bin mir noch ziehmlich unsicher, ob das so in Ordnung
> ist. Es wäre schön, wenn es jemand überprüfen könnte.
Es ist in Ordung, bis auf die eine Sache oben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Mi 20.05.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Felix,
vielen Dank, dass du meinen Beweis überprüft hast 
Ciao,
Kevin
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