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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Fr 17.07.2009 | | Autor: | cantor |
Hallo,
noch einmal eine Frage von mir: In meinem Skript zur Algebra II steht folgendes:
Sei $M$ ein $A$-Modul. Dann ist $M$ Quotient eines freien $A$-Moduls $F$.
und als Begründung:
Sei [mm] $\{ x_i \}_{i\in I}$ [/mm] ein Erzeugendensystem von $M$. Setze
$F = [mm] \oplus_{i \in I} [/mm] A$ mit "Standardbasis" [mm] $\{ e_i \}_{i \in I}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\Theta [/mm] : F [mm] \to [/mm] M, [mm] e_i \mapsto [/mm] x$ eine surjektive A-lineare Abbildung.
Was ich nicht verstehe, ist: Was hat diese surjektive Abbildung mit der Tatsache zu tun, dass M Quotient eines freien A-Moduls ist? Ist wahrscheinlich einfach, aber ich sehe den Zusammenhang einfach nicht. Noch dazu ist die Abbildung seltsam definiert, soll das evtl [mm] $x_i$ [/mm] heißen statt x ?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 Sa 18.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> noch einmal eine Frage von mir: In meinem Skript zur
> Algebra II steht folgendes:
>
> Sei [mm]M[/mm] ein [mm]A[/mm]-Modul. Dann ist [mm]M[/mm] Quotient eines freien
> [mm]A[/mm]-Moduls [mm]F[/mm].
>
> und als Begründung:
>
> Sei [mm]\{ x_i \}_{i\in I}[/mm] ein Erzeugendensystem von [mm]M[/mm]. Setze
> [mm]F = \oplus_{i \in I} A[/mm] mit "Standardbasis" [mm]\{ e_i \}_{i \in I}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\Theta : F \to M, e_i \mapsto x[/mm] eine surjektive
> A-lineare Abbildung.
>
> Was ich nicht verstehe, ist: Was hat diese surjektive
> Abbildung mit der Tatsache zu tun, dass M Quotient eines
> freien A-Moduls ist? Ist wahrscheinlich einfach, aber ich
> sehe den Zusammenhang einfach nicht.
Stichwort: Homomorphiesatz
> Noch dazu ist die
> Abbildung seltsam definiert, soll das evtl [mm]x_i[/mm] heißen
> statt x ?
Ja, soll es.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Sa 18.07.2009 | | Autor: | cantor |
achso, der Quotient im Sinne von Modulo war gemeint. Ich dachte es wäre ein Modulquotient gemeint (weil kurz darüber der Modulquotient (A : B) definiert wurde :) ). Na gut, dann Vielen Dank!
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