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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Freistellen einer Variablen
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Freistellen einer Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mi 17.05.2006
Autor: elvira

Aufgabe
Nach a auflösen:
[mm] 2 = \bruch{2a}{ \wurzel{d^2-a^2}} [/mm]  

Ich kann den Lösungsweg absolut nicht nachvollziehen:
[mm] d^2 - a^2 = a^2 [/mm]  
[mm] a=\bruch{d}{2} \wurzel2 [/mm]  

- wie kommt die Wurzel weg und wo ist der Bruchstrich?
- warum wird aus der Quadrierung dann [mm] \wurzel2 [/mm]?

Vielen lieben Dank für Eure Unterstützung, Elvira

P.S. Ich habe keine entspr. Literatur gefunden, um mir dieses Grundwissen anzueignen. Kennt jemand zufällig ein empfehlenswertes Buch, das die Besonderheiten von Wurzeln unter Bruchstrich und so erklärt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Freistellen einer Variablen: einzelne Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mi 17.05.2006
Autor: Loddar

Hallo Elvira,

[willkommenmr] !!


> Nach a auflösen:   [mm]2 = \bruch{2a}{ \wurzel{d^2-a^2}}[/mm]

Zunächst wurde diese Gleichung durch $2_$ geteilt und anschließend mit der Wurzel multipliziert. Damit haben wir:

[mm] $\wurzel{d^2-a^2 \ } [/mm] \ = \ a$


Nun wird diese Gleichung quadriert, d.h. beide Seiten der Gleichung werden "hoch 2 genommen". Dadurch entfällt die Wurzel auf der linken Seite, da die Quadratfunktion die Umkehrfunktion zur Wurzel ist:

[mm] $d^2-a^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2$ [/mm]


Auf beiden Seiten nun $+ \ [mm] a^2$ [/mm] :

[mm] $d^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+a^2 [/mm] \ = \ [mm] 2*a^2$ [/mm]


Beide Seiten durch $2_$ teilen ...

[mm] $\bruch{d^2}{2} [/mm] \ = \ [mm] a^2$ [/mm]


Um nun $a_$ zu erhalten, nehmen wir nun die Wurzel auf beiden Seiten, um das Quadrat zu entfernen (also genau umgekehrt wie eben):

[mm] $\wurzel{\bruch{d^2}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2 \ } [/mm] \ = \ a$


Auf der rechten Seite wird zunächst ein Wurzelgesetz angewandt:

[mm] $\wurzel{\bruch{x}{y}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{y}}$ [/mm]


[mm] $\bruch{\wurzel{d^2}}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ a$

[mm] $\bruch{d}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ a$


Nun stört uns noch diese Wurzel im Nenner des Bruches. Dafür erweitern wir den Bruch mit [mm] $\blue{\wurzel{2}}$ [/mm] :

$a \ = \ [mm] \bruch{d}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] d*\bruch{1}{\wurzel{2}} *\blue{\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} } [/mm] \ = \ [mm] d*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2*2}} [/mm] \ = \ [mm] d*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2^2}} [/mm] \ = \ [mm] d*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d}{2}*\wurzel{2} [/mm] $


Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ??


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Freistellen einer Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Mi 17.05.2006
Autor: elvira

Wundervoll!! Dankedanke!!
(Wenn Du ein "Mathe - leicht gemacht-Buch" geschrieben hast, lass es mich bitte wissen, ich würds dann bestellen...)
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