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| Aufgabe | | Es sei [mm] c:I->\IR^3 [/mm] eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit [mm] Bild(c)cS^2. [/mm] Man zeige, dass c eine Frenetkurve mit [mm] k(t)=\bruch{-1}{} [/mm] ist |
Hallo!
Also es sind 2 Sachen zu zeigen:
1) c ist eine Frenetkurve, d. h. c'(t) und c''(t) sind linear unabhängig, bzw. c''(t) verschwindet nirgendwo
[mm] 2)k(t)=\bruch{-1}{}
[/mm]
Was weiß ich über c? Die Kurve ist nach Bogenlänge parametrisiert, d. h. [mm] \parallel [/mm] c'(t) [mm] \parallel [/mm] =1.
Sie ist als Raumkurve definiert(bildet in den [mm] \IR^3 [/mm] ab), aber das Entscheidene ist ja [mm] Bild(c)cS^2. [/mm] Diese Aussage ist die Entscheidene, denk ich, jedoch muss ich sie verwerten.
Was sagt mir das?
ich würde sagen, dass die Binormale, d. h. [mm] e_{3}(t)=0 [/mm] ist.Da c in einer Ebene liegt, ist doch die Torsion t=0, oder?
Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen und mir sagen, was man aus der Aussage alles herausholen kann.
Vielen Dank
gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Fr 21.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine nach Bogenlänge parametrisierte
> Kurve mit [mm]Bild(c)cS^2.[/mm] Man zeige, dass c eine Frenetkurve
> mit [mm]k(t)=\bruch{-1}{}[/mm] ist
> Hallo!
> Also es sind 2 Sachen zu zeigen:
> 1) c ist eine Frenetkurve, d. h. c'(t) und c''(t) sind
> linear unabhängig, bzw. c''(t) verschwindet nirgendwo
>
> [mm]2)k(t)=\bruch{-1}{}[/mm]
>
> Was weiß ich über c? Die Kurve ist nach Bogenlänge
> parametrisiert, d. h. [mm]\parallel[/mm] c'(t) [mm]\parallel[/mm] =1.
> Sie ist als Raumkurve definiert(bildet in den [mm]\IR^3[/mm] ab),
> aber das Entscheidene ist ja [mm]Bild(c)cS^2.[/mm] Diese Aussage ist
> die Entscheidene, denk ich, jedoch muss ich sie verwerten.
> Was sagt mir das?
Ich vermute: [mm] S^2=\{x \in \IR^3: ||x||=1\} [/mm] und es lautet: [mm]Bild(c) \subseteq S^2.[/mm]
Damit ist ||c(t)||=1 für jedes t [mm] \in [/mm] I.
FRED
> ich würde sagen, dass die Binormale, d. h. [mm]e_{3}(t)=0[/mm]
> ist.Da c in einer Ebene liegt, ist doch die Torsion t=0,
> oder?
>
> Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen und mir
> sagen, was man aus der Aussage alles herausholen kann.
>
> Vielen Dank
>
> gruß
>
> TheBozz-mismo
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Hallo
Also leider ist nicht angegeben, was [mm] S^2 [/mm] bedeutet. Ich dachte an die drei-dimensionale Einheitssphäre. Ich werd mal Montag nachfragen, aber ich würd gern die Aufgabe jetzt lösen.
> Ich vermute: [mm]S^2=\{x \in \IR^3: ||x||=1\}[/mm] und es lautet:
> [mm]Bild(c) \subseteq S^2.[/mm]
>
>
> Damit ist ||c(t)||=1 für jedes t [mm]\in[/mm] I.
>
>
Ok, aber was bringt mir diese Aussage?
Ich denke, die Kurve lebt in [mm] \IR^3, [/mm] aber das Bild in [mm] \IR^2, [/mm] also ist die Torsion gleich 0, aber irgendwie hilft mir das bei der Aufgabe nicht weiter.
Die Krümmung im dreidimensionalen Raum haben wir so definiert
[mm] e_{1}'=ke_{2}, [/mm] also [mm] k=
[/mm]
c(t)=(x(t),y(t),z(t))
[mm] e_{1}'=(x''(t),y''(t),z''(t))
[/mm]
[mm] e_{2}=\bruch{c''(t)}{\parallel c''(t)\parallel}
[/mm]
Aber mir fehlt irgendwelche Beziehungen bzw. die Bedingung über das Bild miteinbeziehen, weil ich sonst kein Weg sehe, die Aufgabe zu lösen.
Kann mir wer bei der Aufgabe helfen?
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
> FRED
> > ich würde sagen, dass die Binormale, d. h. [mm]e_{3}(t)=0[/mm]
> > ist.Da c in einer Ebene liegt, ist doch die Torsion t=0,
> > oder?
> >
> > Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen und mir
> > sagen, was man aus der Aussage alles herausholen kann.
> >
> > Vielen Dank
> >
> > gruß
> >
> > TheBozz-mismo
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Hallo!
hat keiner mehr eine Idee zu der Aufgabe?
Ich hab mir noch überlegt:
Da die Torsion gleich Null ist, gilt ja [mm] k=- [/mm] und jetzt erweitern.
[mm] k=\bruch{*}{}
[/mm]
Wenn über dem Bruchstrich 1 herauskommt, hätte ich die Krümmung bewiesen, doch ich weiß nicht so recht, wie ich das zeigen kann.
Kann mir einer sagen, was es heißt, wenn das Bild eine Kurve in [mm] \IR^3 [/mm] nur im [mm] \IR^2 [/mm] ist? Ist die 3. Koordinate bei c'(t) immer Null?
Ich bedanke mich für jede Antwort
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 23.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Es sei [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine nach Bogenlänge parametrisierte
> Kurve mit [mm]Bild(c)\subset S^2.[/mm] Man zeige, dass c eine Frenetkurve
> mit [mm]k(t)=\bruch{-1}{}[/mm] ist
> Hallo!
> Also es sind 2 Sachen zu zeigen:
> 1) c ist eine Frenetkurve, d. h. c'(t) und c''(t) sind
> linear unabhängig, bzw. c''(t) verschwindet nirgendwo
Letzteres kann man sich eigentlich anschaulich klar
machen. Da die Kurve auf der Oberfläche der Einheits-
kugel verläuft, ist sie auch da, wo sie (für fiktive
Bewohner der "Flachwelt") [mm] S_2 [/mm] scheinbar "geradeaus"
verläuft, trotzdem (in [mm] \IR^3) [/mm] gekrümmt. Der größtmögliche
Krümmungsradius einer solchen Kurve ist [mm] R_{max}=1 [/mm] ,
nämlich gleich dem Kugelradius. Daraus folgt, dass
[mm] k_{min}=\frac{1}{R_{max}}=1 [/mm] . Daraus folgt weiter, dass k=0 und damit
c''(t)=0 nicht möglich ist.
> 2) k(t)= [mm]\bruch{-1}{}[/mm]
>
> Was weiß ich über c? Die Kurve ist nach Bogenlänge
> parametrisiert, d. h. [mm]\parallel[/mm] c'(t) [mm]\parallel[/mm] =1.
> Sie ist als Raumkurve definiert(bildet in den [mm]\IR^3[/mm] ab),
> aber das Entscheidene ist ja [mm]Bild(c)\subset S^2.[/mm] Diese Aussage ist
> die entscheidende, denk ich, jedoch muss ich sie verwerten.
> Was sagt mir das?
> ich würde sagen, dass die Binormale, d. h. [mm]e_{3}(t)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist.Da c in einer Ebene liegt, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, c liegt nicht in einer Ebene, sondern auf der
im \IR^3 liegenden Fläche S^2 mit der Gleichung x^2+y^2+z^2=1,
also auf der Oberfläche der Einheitskugel.
> ist doch die Torsion t=0, oder?
>
> Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen und mir
> sagen, was man aus der Aussage alles herausholen kann.
Ich versuche, das Wesentliche kurz zusammenzufassen:
Wir haben die natürlich (nach Bogenmaß) parametrisierte
Kurve, dargestellt durch die (genügend oft differenzierbare)
Funktion
t\mapsto c(t) (t\in{I}\subset\IR , c(t)\in S^2\subset\IR^3)
Dabei gilt überall $\parallel{c}(t)\parallel\ =\,1$ (weil Kurve in S^2)
und auch $\parallel{c'(t)\parallel\ =\,1$ (Parametr. nach Bogenmaß)
Durch Ableiten der Skalarprodukte $\ \langle c(t),c(t)\rangle$ und $\ \langle c'(t),c'(t)\rangle$
nach t erhält man daraus die Gleichungen
$\ \langle c'(t),c(t)\rangle\ =\ 0$ sowie $\ \langle c''(t),c'(t)\rangle\ =\ 0$
Leitet man auch $\ \langle c'(t),c(t)\rangle\ =\ 0$ nach t ab, so ergibt sich
$\ \frac{d}{dt}\,\langle c'(t),c(t)\rangle\ \ =\ \ \langle c''(t),c(t)\rangle+\underbrace{\langle c'(t),c'(t)\rangle}_1\ \ =\ \ 0$
und daraus folgt
$\ \langle c''(t),c(t)\rangle\ =\ -1$
Nun zum Frenetschen orthonormierten Dreibein <e_1, e_2, e_3> :
$\ e_1(t)\ =\ c'(t)$
$\ e_1'(t)\ =\ c''(t)\ =\ k*e_2(t)$
$\ e_2(t)\ =\ \frac{1}{k}*e_1'(t)\ =\ \frac{1}{k}*c''(t)$
(e_3 brauchen wir hier gar nicht)
Nun haben wir
$\ k*\langle e_2(t),c(t)\rangle\ =\ \langle k*e_2(t),c(t)\rangle\ =\ \langle c''(t),c(t)\rangle\ =\ -1$
und somit
$\ k\ =\ \frac{-1}{\langle e_2(t),c(t)\rangle}$
LG Al-Chwarizmi
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Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort.
Es ärgert mich zwar, dass ich selbst nicht darauf gekommen bin, aber ich bin dir wirklich dankbar.
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
in meiner obigen Antwort habe ich zur Begründung, dass
in keinem Punkt der Kurve $\ [mm] c''(t)\,=\,0$ [/mm] gelten kann, ein anschau-
liches Argument benützt.
Das ginge natürlich auch anders. Wir haben gesehen, dass
[mm]\ \langle c''(t),c(t)\rangle\ =\ -1[/mm]
für jedes [mm] t\in{I}. [/mm] Daraus folgt natürlich ebenfalls, dass
$\ [mm] c''(t)\,=\,0$ [/mm] unmöglich ist, denn in diesem Fall würde natürlich
auch das Skalarprodukt verschwinden und könnte nicht
den Wert -1 haben. Wegen [mm] $\parallel{c(t)}\parallel\ [/mm] =\ 1$ kann man aus der Gleichung
$\ [mm] \langle c''(t),c(t)\rangle\ [/mm] =\ -1$ auch noch schließen, dass [mm] $\parallel{c''(t)}\parallel\ \ge1$ [/mm] und
deshalb auch [mm] |k|\ge1 [/mm] sein muss.
LG Al-Chw.
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