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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 29.10.2014 | | Autor: | elmanuel |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich beschäftige mich gerade mit Raumkurven und dem Frenet Dreibein
Ich hab da eine Verständnisfrage:
Wenn man eine parametrisierte Kurve ableitet erhaltet man den Geschwindigkeitsvektor, das ist klar, der zeigt in die Richtung wo sich die Kurve hinbewegt, kann ich mir vorstellen..
Wenn ich dann nochmal ableite und normiere erhalte ich den normalenvektor, der soll in die richtung zeigen in die sich die kurve krümmt... was mir nicht ganz eingeht, wenn ich einen geschwindigkeitsvektor habe, so habe ich ja dann unendlich viele vektoren die auf den normal stehen... was zeichnet den normalenvektor für die krümmung aus und warum erhalte ich genau diesen richtigen? warum könnte ich nicht einfach irgendeinen normalenvektor nehmen?
der binormalenvektor ist dann wieder als normalvektor auf die ebene auf zwei kandidaten beschränkt wobei man soweit ich das verstanden hab den nimmt der in die bewegungsrichtung der kurve zeigt, oder?
wär mir sehr gedient wenn mir jemand etwas mehr klarheit verschaffen könnte :)
danke
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> Hallo liebe Gemeinde!
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> Ich beschäftige mich gerade mit Raumkurven und dem Frenet
> Dreibein
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> Ich hab da eine Verständnisfrage:
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> Wenn man eine parametrisierte Kurve ableitet erhaltet erhält man
> den Geschwindigkeitsvektor, das ist klar, der zeigt in die
> Richtung wo sich die Kurve hinbewegt, kann ich mir
> vorstellen..
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> Wenn ich dann nochmal ableite und normiere erhalte ich den
> normalenvektor, der soll in die richtung zeigen in die sich
> die kurve krümmt... was mir nicht ganz eingeht, wenn ich
> einen geschwindigkeitsvektor habe, so habe ich ja dann
> unendlich viele vektoren die auf den normal stehen... was
> zeichnet den normalenvektor für die krümmung aus und
> warum erhalte ich genau diesen richtigen? warum könnte ich
> nicht einfach irgendeinen normalenvektor nehmen?
Zu einem Geschwindigkeitsvektor oder zu einer Geraden
gibt es tatsächlich unendlich viele Normalenvektoren, die
ein "Büschel" bilden und insgesamt eine zum Vektor
normal stehende Scheibe bilden.
Ist aber die betrachtete Kurve (die wenigstens zweimal
stetig differenzierbar sein soll) in einem gewissen Punkt
tatsächlich gekrümmt, so gibt es einen bestimmten
Kreis, der durch diesen Punkt verläuft und die Kurve in
der unmittelbaren Umgebung davon bestmöglich
approximiert. Dies ist der Krümmungskreis für die
Kurve im betrachteten Punkt. Er definiert eine Ebene,
und er hat einen bestimmten Mittelpunkt und einen
Radius (Krümmungsradius). Der normierte Normalenvektor
zeigt vom Kurvenpunkt aus in die Richtung zum Mittel-
punkt des Krümmungskreises.
> der binormalenvektor ist dann wieder als normalvektor auf
> die ebene auf zwei kandidaten beschränkt wobei man soweit
> ich das verstanden hab den nimmt der in die
> bewegungsrichtung der kurve zeigt, oder?
Der Binormalenvektor ist durch [mm] $\vec [/mm] b\ =\ [mm] \vec [/mm] t\ [mm] \times \vec [/mm] n$
eindeutig festgelegt, inklusive Richtungssinn : Rechte-Hand-Regel (!)
Fahre ich zum Beispiel auf ebener Straße eine Linkskurve, so
zeigt der Vektor [mm] $\vec [/mm] t$ in Fahrtrichtung, von mir aus betrachtet
also nach vorn (durch die Windschutzscheibe) , der Normalenvektor
[mm] $\vec [/mm] n$ nach links (durch die Fahrertüre) und der Binormalenvektor
(Rechte-Hand-Regel !) nach oben durchs Dach.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 29.10.2014 | | Autor: | elmanuel |
danke Al-Chwarizmi!
das mit dem krümmungskreis hat viel geholfen, jetzt sehe ich ein dass er eindeutig bestimmt ist wenn die kurve sich in dem punkt krümmt...
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