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Hallo!
Ich habe ein Verständnisproblem bei einem Beweis.
Es geht um die frenetischen Ableitungsregeln im [mm] \IR^3
[/mm]
Satz:
Es gibt Funktionen [mm] k,t:I-\IR, [/mm] sodass
[mm] e_{1}'=ke_{2}
[/mm]
[mm] e_{2}'=-ke_{1}+te_{3}
[/mm]
[mm] e_{3}'=-te_{2}
[/mm]
wobei k die Krümmung ist und t die Torsion.
Für die dritte Ableitung wurde folgender Beweis gegeben:
[mm] e_{3}'=\underbrace{}_{=-=0}e_{1}+\underbrace{}_{=-=:-t}e_{2}+\underbrace{}_{=0}e_{3}=-te_{2}
[/mm]
Meine erste Frage ist: Wie kommt man auf diese Form der Ableitung von [mm] e_{3} [/mm] ? [mm] e_{3} [/mm] ist ja das Kreuzprodukt von [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2}. [/mm] Kann mir das einer erklären?
Das [mm] =0 [/mm] ist, ist mir klar, da [mm] =1 [/mm] und ableiten ergibt eben [mm] 2*=0
[/mm]
Warum folgt aus [mm] [/mm] 0?
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
die Überschrift "Frenetische Regeln" hat mir gefallen -
allerdings sollte es richtig "Frenetsche Regeln" heißen.
![[]](/images/popup.gif) Frenet
"frenetisch" bedeutet etwa "enthusiastisch", "unbändig",
"begeistert" ... 
> Satz:
> Es gibt Funktionen [mm]k,t:I-\IR,[/mm] sodass
> [mm]e_{1}'=ke_{2}[/mm]
> [mm]e_{2}'=-ke_{1}+te_{3}[/mm]
> [mm]e_{3}'=-te_{2}[/mm]
> wobei k die Krümmung ist und t die Torsion.
>
> Für die dritte Ableitung wurde folgender Beweis gegeben:
>
> [mm]e_{3}'=\underbrace{}_{=-=0}e_{1}+\underbrace{}_{=-=:-t}e_{2}+\underbrace{}_{=0}e_{3}=-te_{2}[/mm]
>
> Meine erste Frage ist: Wie kommt man auf diese Form der
> Ableitung von [mm]e_{3}[/mm] ?
Zunächst wird ja einfach der Vektor [mm] e_{3}' [/mm] in dem ortho-
normierten, von [mm] e_{1} [/mm] , [mm] e_{2} [/mm] , [mm] e_{3} [/mm] aufgespannten Koordinaten-
system in drei Komponenten zerlegt. Dazu braucht man die
Skalarprodukte.
> [mm]e_{3}[/mm] ist ja das Kreuzprodukt von
> [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}.[/mm] Kann mir das einer erklären?
Das System der 3 Einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] wird so "zurechtgezimmert",
dass [mm] e_1 [/mm] tangential in "Bewegungsrichtung" zeigt, [mm] e_2 [/mm] senkrecht
dazu in der Ebene des Schmiegekreises und [mm] e_3 [/mm] senkrecht zu
[mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2. [/mm] Der Vektor [mm] e_3 [/mm] wird deshalb durch das Kreuzprodukt
von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] definiert.
> Das [mm]=0[/mm] ist, ist mir klar, da [mm]=1[/mm]
> und ableiten ergibt eben [mm]2*=0[/mm]
>
> Warum folgt aus [mm][/mm] 0?
Es ist ja [mm] $e_1'=k*e_2$ [/mm] , also ist [mm] e_1' [/mm] parallel zu [mm] e_2.
[/mm]
Und [mm] e_3 [/mm] steht definitionsgemäß senkrecht auf [mm] e_2 [/mm] , also
auch auf [mm] e_1'. [/mm] Daraus folgt, dass [mm] [/mm] = 0
LG Al-Chw.
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Vielen lieben Dank für deine Erklärungen und deine Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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