Frobeniusnorm Beweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hallo! Ich soll u.a. beweisen, dass die Frobeniusnorm, eine Matrixnorm ist. Jetzt hänge ich gerade an der Dreiecksungleichung: |
||A+B|| = [mm] \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k + b_i_k |^2} [/mm] = ... [mm] \le \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2} [/mm] + [mm] \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} | b_i_k |^2} [/mm] =||A|| + ||B||
Könnt ihr mir wohl weiterhelfen wie ich dahin komme? danke Schonmal!!!
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Hallo HansPeter
[mm] $|a+b|^2 [/mm] = [mm] |(a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2)| \le |a|^2 [/mm] + [mm] |b|^2$
[/mm]
und
[mm] $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b}$ [/mm] für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$
MFG,
Gono.
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gilt die erste ungleichung!?
für a= 1 und b = 2
steht da: 9 = 3² [mm] \le [/mm] 1² + 2² = 5 und das ist ja falsch!!
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Hiho,
autsch.... stimmt..... dann anders:
$ [mm] \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k + b_i_k |^2} [/mm] $ = ... $ [mm] \le \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2} [/mm] $ + $ [mm] \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} | b_i_k |^2} [/mm] $
[mm] \sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k [/mm] + [mm] b_i_k |^2 \le \sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2 [/mm] + [mm] \sum_{i,k=1}^{n} [/mm] | [mm] b_i_k |^2 [/mm] + [mm] 2\wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2\sum_{i,k=1}^{n} |b_i_k |^2}
[/mm]
[mm] \sum_{i,k=1}^{n}a_{ik}b_{ik} \le \wurzel{\sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2\sum_{i,k=1}^{n} |b_i_k |^2}
[/mm]
[mm] $\left( \sum_{i,k=1}^{n}a_{ik}b_{ik} \right)^2 \le \sum_{i,k=1}^{n} |a_i_k |^2\sum_{i,k=1}^{n} |b_i_k |^2$
[/mm]
Und nu würde ich mit Cauchy-Schwartz argumentieren 
[mm] \left(\sum x_i \cdot y_i \right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right) \cdot \left(\sum y_i^2\right) [/mm]
MFG,
Gono.
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Ja ich verstehe das, was du geschrieben hast, aber leider versteh ich nicht genau wo du Cauchy-Schwarz anwenden möchtest und wie ich das dann zusammen setzen soll? sry wäre nett wenn du mir das noch erklären könntest!
aber ich hab auch noch eine andere Frage.
reicht es eigentlich auch, wenn ich nur zeigen will dass die Frobeniusnorm eine Matrixnorm ist,
wenn ich sage: man kann jede Matrix als langen Vektor schreiben/sehen und dann ist die Frobeniusnorm gerade die Euklidische Norm und diese Axiome übertragen sich ja dann.
oder ist das nicht formal genug?
Danke schonmal!!!!
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Hallo,
> Ja ich verstehe das, was du geschrieben hast, aber leider
> versteh ich nicht genau wo du Cauchy-Schwarz anwenden
> möchtest und wie ich das dann zusammen setzen soll? sry
> wäre nett wenn du mir das noch erklären könntest!
>
>
> aber ich hab auch noch eine andere Frage.
> reicht es eigentlich auch, wenn ich nur zeigen will dass
> die Frobeniusnorm eine Matrixnorm ist,
> wenn ich sage: man kann jede Matrix als langen Vektor
> schreiben/sehen und dann ist die Frobeniusnorm gerade die
> Euklidische Norm und diese Axiome übertragen sich ja
> dann.
> oder ist das nicht formal genug?
>
Doch, ich denke das ist OK. Die Beweise uebertragen sich 1 zu 1.
gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Sa 24.10.2009 | | Autor: | HansPeter |
hat denn keiner eine idee??
oder ist es wirklich so einfach mit der rückführung auf die euklidische norm?
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