Fubini und Integral < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] f(x,y):=\bruch{x}{(1+xy)(1+x^2)}. [/mm] Es sei [mm] I:=\integral_{[0,1]^2} f(x,y)d\lambda(x,y).
[/mm]
a) Zeigen sie, dass f [mm] \in \mathcal{L}^1([0,1]^2,d\lambda^2) [/mm] gilt und leiten sie her, dass I existiert.
b) Zeigen sie, dass I = [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+x)}{1+x^2}dx
[/mm]
c) Zeigen sie, dass [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] f(x,y)dx = [mm] \bruch{2ln(2)+\pi y-4ln(1+y)}{4(y^2+1)}gilt.
[/mm]
d) Mithilfe von b) und des Satzes von Fubini leiten sie den Wert von I her. |
Hallo,
ich schreibe bald Klausur und das ist eine Aufgabe aus der Probeklausur, die wir auch schon verbessert haben, aber da verstehe ich die Verbesserung nicht.
a) ist klar; b) klar, wg a) Fubini anwendbar; c) auch klar; (a-c habe ich nur zum Verständnis aufgeschrieben)
d) Zur Verbesserung haben wir aufgeschrieben:
2I = [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)}dy [/mm] = [mm] \bruch{\pi ln(2)}{4} [/mm]
denn [mm] \integral{0}^{1} \bruch{1}{1+y^2}dy [/mm] = arctan(1) -arctan(0) [mm] =\bruch{\pi}{4}
[/mm]
und [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{2y}{1+y^2}dy [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{d}{dy} ln(1+y^2)dy [/mm] =ln(2)
Erste Frage: Wie komme ich auf 2I? ich kann doch von der Form nicht einfach -4ln(1+y) weglassen;
Zweite Frage: Wie komme ich von 2I auf die anderen beiden Integrale? Beide zusammen multipliziert ergibt ja dann nicht die eigentliche Form;
Schon mal vielen Dank im Vorraus;
fg
Chrissi
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Hallo chrissi2709,
> Es sei [mm]f(x,y):=\bruch{x}{(1+xy)(1+x^2)}.[/mm] Es sei
> [mm]I:=\integral_{[0,1]^2} f(x,y)d\lambda(x,y).[/mm]
> a) Zeigen sie,
> dass f [mm]\in \mathcal{L}^1([0,1]^2,d\lambda^2)[/mm] gilt und
> leiten sie her, dass I existiert.
> b) Zeigen sie, dass I = [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/mm]
>
> c) Zeigen sie, dass [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] f(x,y)dx =
> [mm]\bruch{2ln(2)+\pi y-4ln(1+y)}{4(y^2+1)}gilt.[/mm]
> d) Mithilfe
> von b) und des Satzes von Fubini leiten sie den Wert von I
> her.
> Hallo,
>
> ich schreibe bald Klausur und das ist eine Aufgabe aus der
> Probeklausur, die wir auch schon verbessert haben, aber da
> verstehe ich die Verbesserung nicht.
> a) ist klar; b) klar, wg a) Fubini anwendbar; c) auch
> klar; (a-c habe ich nur zum Verständnis aufgeschrieben)
> d) Zur Verbesserung haben wir aufgeschrieben:
>
> 2I = [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)}dy[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi ln(2)}{4}[/mm]
> denn [mm]\integral{0}^{1} \bruch{1}{1+y^2}dy[/mm] = arctan(1)
> -arctan(0) [mm]=\bruch{\pi}{4}[/mm]
> und [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{2y}{1+y^2}dy[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{d}{dy} ln(1+y^2)dy[/mm] =ln(2)
>
> Erste Frage: Wie komme ich auf 2I? ich kann doch von der
> Form nicht einfach -4ln(1+y) weglassen;
Wir haben ja:
[mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y-4ln(1+y)}{4(y^2+1)} dy}=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}[/mm]
Nach b) gilt:
[mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/mm]
Demnach auch
[mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+y)}{1+y^2} \ dy[/mm]
> Zweite Frage: Wie komme ich von 2I auf die anderen beiden
> Integrale? Beide zusammen multipliziert ergibt ja dann
> nicht die eigentliche Form;
Die beiden Integrale sind hier zu addieren:
[mm]2I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4*\left(1+y^{2}\right)} \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)}{4*\left(1+y^{2}\right)} dy}+\integral_{0}^{1}{\bruch{\pi y}{4*\left(1+y^{2}\right)} \ dy}[/mm]
[mm]=\bruch{2*\ln\left(2\right)}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+y^{2}} dy}+\bruch{\pi}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{y}{1+y^{2}} \ dy}[/mm]
>
> Schon mal vielen Dank im Vorraus;
>
> fg
> Chrissi
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für die Antwort, aber die Antwort zur ersten Frage habe ich nicht ganz verstanden
> Wir haben ja:
>
> [mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y-4ln(1+y)}{4(y^2+1)} dy}=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}[/mm]
>
[mm] -\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy} [/mm]
der Bruch integriert ergibt ja nicht null, so dass der Teil wegfallen würde;
Warum kann ich den Teil dann trotzdem weglassen?
> Nach b) gilt:
>
> [mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/mm]
>
> Demnach auch
>
> [mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+y)}{1+y^2} \ dy[/mm]
ja das ist mir klar, aber in wie fern soll mich das weiter bringen?
fg
Chrissi
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Hallo chrissi2709,
> Hallo MathePower,
>
> danke für die Antwort, aber die Antwort zur ersten Frage
> habe ich nicht ganz verstanden
>
> > Wir haben ja:
> >
> > [mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y-4ln(1+y)}{4(y^2+1)} dy}=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}[/mm]
>
> >
>
> [mm]-\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}[/mm]
> der Bruch integriert ergibt ja nicht null, so dass der Teil
> wegfallen würde;
> Warum kann ich den Teil dann trotzdem weglassen?
>
> > Nach b) gilt:
> >
> > [mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/mm]
> >
> > Demnach auch
> >
> > [mm]I=\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+y)}{1+y^2} \ dy[/mm]
>
> ja das ist mir klar, aber in wie fern soll mich das weiter
> bringen?
Das Integral
[mm]\integral_{0}^{1} \bruch{ln(1+y)}{1+y^2} \ dy[/mm]
kannst Du somit durch I ersetzen.
Dann ist
[mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-\bruch{4}{4}\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(1+y)}{(y^2+1)} dy}=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}-I[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm]2I=\integral_{0}^{1}{\bruch{2ln(2)+\pi y}{4(y^2+1)} dy}[/mm]
>
> fg
> Chrissi
>
Gruss
MathePower
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