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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:10 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] u(x,x_{0})=\bruch{1}{2a}sin(a|x-x_{0}|) [/mm] mit [mm] x,x_{0}\in\IR [/mm] Fundamentallösung des Differentialoperators [mm] L=\bruch{d^{2}}{dx^{2}}+a^{2} [/mm] mit a>0 ist, d.h. es gilt im Distributionensinne [mm] Lu=\delta _{x_{o}} [/mm] |
Als erstes wende ich den Differentialoperator auf u an:
[mm] (\bruch{d^{2}}{dx^{2}}+a^{2})*(\bruch{1}{2a}sin(a|x-x_{0}|))
[/mm]
[mm] (\bruch{d^{2}}{dx^{2}}*\bruch{1}{2a}sin(a|x-x_{0}|))+\bruch{a}{2}sin(a|x-x_{0}|)
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2a}*\bruch{d}{dx}*cos(a|x-x_{0}|)*\bruch{d}{dx}(a|x-x_{0}|))+\bruch{a}{2}sin(a|x-x_{0}|)
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2a}(-sin(a|x-x_{0}|)*(\bruch{d}{dx}(a|x-x_{0}|))^{2}+cos(a|x-x_{0}|)\bruch{d^{2}}{dx^{2}}(a|x-x_{0}|))+\bruch{a}{2}sin(a|x-x_{0}|)
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}(a|x-x_{0}|)=\begin{cases} +a, & \mbox{für } x\ge x_{0} \\ -a, & \mbox{für } x\le x_{0} \end{cases}
[/mm]
also ist [mm] (\bruch{d}{dx}(a|x-x_{0}|))^{2}=a^{2} [/mm] und [mm] \bruch{d^{2}}{dx^{2}}(a|x-x_{0}|)=0
[/mm]
aber damit ergibt sich:
[mm] -\bruch{a}{2}sin(a|x-x_{0}|)+\bruch{a}{2}sin(a|x-x_{0}|)=0
[/mm]
und das ist nicht unbedingt [mm] \delta _{x_{0}}, [/mm] außer für [mm] x_{0}\to\infty
[/mm]
also steckt in meinen Überlegungen vermutlich irgendwo ein Fehler. schonmal vielen Dank für eure Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:43 Do 26.05.2011 | | Autor: | Docci |
Da wir uns im [mm] L_{2} [/mm] befinden, muss man auch das im [mm] L_{2} [/mm] definierte skalarprodukt verwenden...
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