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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fundamentalmatrix

Fundamentalmatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Fundamentalmatrix: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	01:12 Sa 18.12.2010
Autor:	pppppp

Aufgabe

 Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der DGL

[mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]

Formen Sie ausserdem die DGL in ein äquivalentes System erster Ordnung der Form z'=Az um. Geben Sie eine (komplexe) Fundamentalmatrix für diese Differentialgleichung an.

Ich komme bei der Erstellung des äquivalenten Systemes nicht weiter. (letzte 10 Zeilen)

Wer möchte, kann natürlich auch gerne noch einen Kommentar zur Richtigkeit des Weges bis dahin abgeben

:

[mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]

Substitution [mm]y(x)=e^h^x[/mm]

[mm]h^3+3h^2+4h+2=0[/mm]   Lösung erraten: [mm]h_1=-1[/mm]

[mm](h^3+3h^2+4h+2) / (h+1) = h^2+2h+2=(h+1)^2-1+2=(h+1)^2+1=0[/mm]
[mm]h^3+h^2[/mm]
      [mm]2h^2[/mm]
       [mm]2h^2+2h[/mm]
                [mm]2h[/mm]
                 [mm]2h+2[/mm]

[mm](h+1)^2=-1[/mm]
[mm]h_2=i ; h_3=-i[/mm]

allgemeine Lösung:
[mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{(-1+i)*x}+c_3e^{(-1-i)*x}[/mm]

Umformung der komplexen Lösung:
[mm]e^{(-1+i)*x}=e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x)[/mm]
[mm]e^{(-1-i)*x}=e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x)[/mm]

[mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2(e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x))+c_3(e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x))=c_1e^{-x}+c_2e^-^1cos(x)+c_3ie^-^1sin(x)+c_4e^-^1cos(-x)+c_5ie^-^1sin(-x)[/mm]

Weil e^-1  und i Konstanten sind kann man sie in die Konstante ziehen.
Es gibt 2 doppelte Nullstellen, weil
cos(x)=cos(-x) und
sin(x)=(-1) sin(x) , die (-1) kann man auch in die Konstante ziehen.

allgemeine, reelle Lösung:
[mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2cos(x)+c_3sin(x)+c_4cos(x)x+c_5sin(x)x[/mm]

komplexes Fundamentalsystem:
F=[mm]e^{-x},e^{(-1+i)*x},e^{(-1-i)*x}[/mm]

komplexe Fundamentalmatrix:
M=[mm]\pmat{ e^{-x}&e^{(-1+i)*x}&e^{(-1-i)*x} \\ -e^{-x} & (-1+i)e^{(-1+i)*x}& (-1-i)e^{(-1-i)*x} \\ e^{-x} & (-1+i)^2e^{(-1+i)*x} & (-1-i)^2e^{(-1-i)*x} } [/mm]=[mm]\pmat{Fundamentalsystem\\ die jew 1. Ableitung\\ die jeweils 2. Ableitung}[/mm]

äquivalentes System erster Ordnung:

[mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]

                   [mm]y(x)=y_1[/mm]
1.                                   [mm]y'(x)=y_2=y_1'[/mm]
2.                                   [mm]y''(x)=y_3=y_2'[/mm]
3.[mm]y'''(x)=-3y''(x)-4y'(x)-2y(x)=-3y_3(x)-4y_2(x)-2y_1(x)=y_3'[/mm]

Nummer 1-3 bilden ein äquivalentes Gleichungssystem erster Ordnung.
In eine Matrix der geforderten Form eingetragen sieht das so aus:
äquivalentes System 1. Ordnung:

[mm]\pmat{y_1'\\ y'_2\\ y'_3}=\pmat{0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&-4&-3}\pmat{y_1\\ y_2\\ y_3}[/mm]

Das ist aber nicht gerechnet sondern einfach nur aus dem Gleichungssystem abgeschrieben... passt das?

Bezug

Fundamentalmatrix: {} Zeichen

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	01:18 Sa 18.12.2010
Autor:	pppppp

Die Lösungsmenge des Fundamentalsystems gehöhrt eig. in geschweifte Klammern, da bekomme ich aber eine Fehlermeldung. gibt es da einen Trick?
F="geschweifte Klammer auf"$ [mm] e^{-x},e^{(-1+i)\cdot{}x},e^{(-1-i)\cdot{}x} [/mm] "... zu"$

Bezug

Fundamentalmatrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:20 Sa 18.12.2010
Autor:	MathePower

Hallo pppppp,

> Die Lösungsmenge des Fundamentalsystems gehöhrt eig. in
> geschweifte Klammern, da bekomme ich aber eine
> Fehlermeldung. gibt es da einen Trick?
> F="geschweifte Klammer auf"[mm] e^{-x},e^{(-1+i)\cdot{}x},e^{(-1-i)\cdot{}x} "... zu"[/mm]

Die geschweiften Klammern schreibst Du so: \{ ... \}

Gruss
MathePower

Bezug

Fundamentalmatrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:17 Sa 18.12.2010
Autor:	MathePower

Hallo pppppp,

> Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der DGL
>
> [mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]
>
> Formen Sie ausserdem die DGL in ein äquivalentes System
> erster Ordnung der Form z'=Az um. Geben Sie eine (komplexe)
> Fundamentalmatrix für diese Differentialgleichung an.
>
>
>
>
> Ich komme bei der Erstellung des äquivalenten Systemes
> nicht weiter. (letzte 10 Zeilen)
>
>
> Wer möchte, kann natürlich auch gerne noch einen
> Kommentar zur Richtigkeit des Weges bis dahin abgeben
>

:
>
>
> [mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]
>
> Substitution [mm]y(x)=e^h^x[/mm]
>
> [mm]h^3+3h^2+4h+2=0[/mm]   Lösung erraten: [mm]h_1=-1[/mm]
>
> [mm](h^3+3h^2+4h+2) / (h+1) = h^2+2h+2=(h+1)^2-1+2=(h+1)^2+1=0[/mm]
>
>  [mm]h^3+h^2[/mm]
>        [mm]2h^2[/mm]
>         [mm]2h^2+2h[/mm]
>                  [mm]2h[/mm]
>                   [mm]2h+2[/mm]
>
> [mm](h+1)^2=-1[/mm]
>  [mm]h_2=i ; h_3=-i[/mm]

Hier muß stehen:

[mm]h_{2}=\red{-1}+i, \ h_{3}=\red{-1}-i[/mm]

>
> allgemeine Lösung:
>  [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{(-1+i)*x}+c_3e^{(-1-i)*x}[/mm]
>
> Umformung der komplexen Lösung:
>  [mm]e^{(-1+i)*x}=e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x)[/mm]
>  [mm]e^{(-1-i)*x}=e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x)[/mm]

Da ist das x in der Exponentialfunktion verlorengegangen;

[mm]e^{(-1+i)*x}=e^{-\blue{x}}cos(x)+ie^{-\blue{x}}sin(x)[/mm]
[mm]e^{(-1-i)*x}=e^{-\blue{x}}cos(-x)+ie^{-\blue{x}}sin(-x)[/mm]

>
> [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2(e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x))+c_3(e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x))=c_1e^{-x}+c_2e^-^1cos(x)+c_3ie^-^1sin(x)+c_4e^-^1cos(-x)+c_5ie^-^1sin(-x)[/mm]
>
> Weil e^-1  und i Konstanten sind kann man sie in die
> Konstante ziehen.
>  Es gibt 2 doppelte Nullstellen, weil
> cos(x)=cos(-x) und
>  sin(x)=(-1) sin(x) , die (-1) kann man auch in die
> Konstante ziehen.
>
> allgemeine, reelle Lösung:
>  [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2cos(x)+c_3sin(x)+c_4cos(x)x+c_5sin(x)x[/mm]

Das ist nicht richtig.

[mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2 e^{-\blue{x}}cos(x)+c_3e^{-\blue{x}}sin(x)[/mm]

>
> komplexes Fundamentalsystem:
>  F=[mm]e^{-x},e^{(-1+i)*x},e^{(-1-i)*x}[/mm]
>
> komplexe Fundamentalmatrix:
>  M=[mm]\pmat{ e^{-x}&e^{(-1+i)*x}&e^{(-1-i)*x} \\ -e^{-x} & (-1+i)e^{(-1+i)*x}& (-1-i)e^{(-1-i)*x} \\ e^{-x} & (-1+i)^2e^{(-1+i)*x} & (-1-i)^2e^{(-1-i)*x} } [/mm]=[mm]\pmat{Fundamentalsystem\\ die jew 1. Ableitung\\ die jeweils 2. Ableitung}[/mm]
>
> äquivalentes System erster Ordnung:
>
> [mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]
>
> [mm]y(x)=y_1[/mm]
>  1.                                   [mm]y'(x)=y_2=y_1'[/mm]
>  2.                                   [mm]y''(x)=y_3=y_2'[/mm]
>
> 3.[mm]y'''(x)=-3y''(x)-4y'(x)-2y(x)=-3y_3(x)-4y_2(x)-2y_1(x)=y_3'[/mm]
>
> Nummer 1-3 bilden ein äquivalentes Gleichungssystem erster
> Ordnung.
>  In eine Matrix der geforderten Form eingetragen sieht das
> so aus:
>  äquivalentes System 1. Ordnung:
>
> [mm]\pmat{y_1'\\ y'_2\\ y'_3}=\pmat{0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&-4&-3}\pmat{y_1\\ y_2\\ y_3}[/mm]
>
> Das ist aber nicht gerechnet sondern einfach nur aus dem
> Gleichungssystem abgeschrieben... passt das?

Ja, das passt.

Bezug

Fundamentalmatrix: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:20 Sa 18.12.2010
Autor:	pppppp

Vielen Dank fürs genaue Durchlesen !

Hat gut weitergeholfen :-)

Bezug

Fundamentalmatrix: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:23 Sa 18.12.2010
Autor:	pppppp

Cool! Endlich ist zumindest mal der Lösungsweg richtig

Und mit [mm]\blue{e^{-x}}[/mm] in der allgemeinen, reellen Lösung stimmt die dann auch??

>
> allgemeine Lösung:
>  [mm] y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{(-1+i)\cdot{}x}+c_3e^{(-1-i)\cdot{}x} [/mm]
>
> Umformung der komplexen Lösung:
>  [mm] e^{(-1+i)\cdot{}x}=e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x) [/mm]
>  [mm] e^{(-1-i)\cdot{}x}=e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x) [/mm]

Da ist das x in der Exponentialfunktion verlorengegangen;

[mm] e^{(-1+i)\cdot{}x}=e^{-\blue{x}}cos(x)+ie^{-\blue{x}}sin(x) [/mm]
[mm] e^{(-1-i)\cdot{}x}=e^{-\blue{x}}cos(-x)+ie^{-\blue{x}}sin(-x) [/mm]

>
> [mm] y(x)=c_1e^{-x}+c_2(e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x))+c_3(e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x))=c_1e^{-x}+c_2e^-^1cos(x)+c_3ie^-^1sin(x)+c_4e^-^1cos(-x)+c_5ie^-^1sin(-x) [/mm]
>
> Weil i selbst eine Konstanten ist kann man es in die
> Konstante ziehen.
>  Es gibt 2 doppelte Nullstellen, weil
> cos(x)=cos(-x) und
>  sin(x)=(-1) sin(x) , die (-1) kann man auch in die
> Konstante ziehen.
>
> allgemeine, reelle Lösung:

[mm] y(x)=c_1e^{-x}+\blue{e^{-x}}c_2cos(x)+\blue{e^{-x}}c_3sin(x)+\blue{e^{-x}}c_4cos(x)x+\blue{e^{-x}}c_5sin(x)x [/mm]

Bezug

Fundamentalmatrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:13 Sa 18.12.2010
Autor:	MathePower

Hallo pppppp,

>
> Cool! Endlich ist zumindest mal der Lösungsweg richtig
>

>
> Und mit [mm]\blue{e^{-x}}[/mm] in der allgemeinen, reellen Lösung
> stimmt die dann auch??

>

Nun, in Deiner angebenen Lösung kannst Du
noch die Konstanten  zusammenfassen.

> >

> > allgemeine Lösung:
>  >
> [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{(-1+i)\cdot{}x}+c_3e^{(-1-i)\cdot{}x}[/mm]
>  >
> > Umformung der komplexen Lösung:
>  >  [mm]e^{(-1+i)\cdot{}x}=e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x)[/mm]
>  >  [mm]e^{(-1-i)\cdot{}x}=e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x)[/mm]
>
>
> Da ist das x in der Exponentialfunktion verlorengegangen;
>
> [mm]e^{(-1+i)\cdot{}x}=e^{-\blue{x}}cos(x)+ie^{-\blue{x}}sin(x)[/mm]
>
> [mm]e^{(-1-i)\cdot{}x}=e^{-\blue{x}}cos(-x)+ie^{-\blue{x}}sin(-x)[/mm]
>
>
> >

> >
> [mm]y(x)=c_1e^{-x}+c_2(e^-^1cos(x)+ie^-^1sin(x))+c_3(e^-^1cos(-x)+ie^-^1sin(-x))=c_1e^{-x}+c_2e^-^1cos(x)+c_3ie^-^1sin(x)+c_4e^-^1cos(-x)+c_5ie^-^1sin(-x)[/mm]
>  >
> > Weil i selbst eine Konstanten ist kann man es in die
>  > Konstante ziehen.

>  >  Es gibt 2 doppelte Nullstellen, weil
>  > cos(x)=cos(-x) und

>  >  sin(x)=(-1) sin(x) , die (-1) kann man auch in die
>  > Konstante ziehen.

>  >
> > allgemeine, reelle Lösung:
>
> [mm]y(x)=c_1e^{-x}+\blue{e^{-x}}c_2cos(x)+\blue{e^{-x}}c_3sin(x)+\blue{e^{-x}}c_4cos(x)x+\blue{e^{-x}}c_5sin(x)x[/mm]
>

Eine DGL 3. Ordnung hat nur 3 Fundamentallösungen.

Daher ergibt sich die allgemeine Lösung zu:

[mm]y(x)=c_1e^{-x}+\blue{e^{-x}}c_2cos(x)+\blue{e^{-x}}c_3sin(x)[/mm]

>

Gruss
MathePower

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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