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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:01 Fr 02.07.2010 | | Autor: | alexis88 |
| Aufgabe | Sei Y(x) eine Fundamentalmatrix mit dem linearen DGL
y`(x) = Ay(x) wobei A eine konstante Koeffizientenmatrix ist. Y(0) ist die Einheitsmatrix. Beweise für alle x,t [mm] \in\IR:
[/mm]
Y(x+t)=Y(x)+Y(t) sowie Y(-t)=Y(t)^-1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen,
wir sollen eine der beiden Variablen (x oder t) festhalten und nutzen dass Lösungen von linearen Anfangswertproblemen mit konstanter A eindeutig sind.
Hilft mir leider trotzdem nicht viel.Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei Y(x) eine Fundamentalmatrix mit dem linearen DGL
> y'(x) = Ay(x) wobei A eine konstante Koeffizientenmatrix
> ist. Y(0) ist die Einheitsmatrix. Beweise für alle x,t
> [mm]\in\IR:[/mm]
> Y(x+t)=Y(x)+Y(t)
Das kann nicht sein ! Du hast Dich sicher verschrieben !
Zu zeigen ist: $Y(x+t)=Y(x)*Y(t)$
Tipp: Sei t fest. Setze $Z(x):= Y(x+t)$ und $W(x)= Y(x)*Y(t)$ und zeige:
$Z'(x)= AZ(x)$ , $W'(x)= AW(x)$ und $Z(0)=W(0)$
FRED
> sowie Y(-t)=Y(t)^-1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Guten Morgen,
> wir sollen eine der beiden Variablen (x oder t) festhalten
> und nutzen dass Lösungen von linearen Anfangswertproblemen
> mit konstanter A eindeutig sind.
>
> Hilft mir leider trotzdem nicht viel.Könnt ihr mir ein
> bisschen auf die Sprünge helfen?
> Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Fr 02.07.2010 | | Autor: | alexis88 |
stimmt habe mich verschrieben...wie macht man das denn? Ich weiß ja nicht wie A aussieht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> stimmt habe mich verschrieben...wie macht man das denn? Ich
> weiß ja nicht wie A aussieht...
Na und ? benutzen mußt Du natürlich $Y'(x)=AY(x)$
Nun mach einfach mal ...
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Fr 02.07.2010 | | Autor: | alexis88 |
Z(0)=W(0) habe ich.
Aber wie soll ich das andere beweisen, wenn ich nur weiss dass A Koeffizienten als Einträge hat(oder was heißt konstante KM?)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Z(0)=W(0) habe ich.
> Aber wie soll ich das andere beweisen, wenn ich nur weiss
> dass A Koeffizienten als Einträge hat(oder was heißt
> konstante KM?)?
Warum machst Du nicht einfach mal das, was ich Dir gesagt habe ?
Es ist
$Z'(x)=Y'(x+t) = AY(x+t) = AZ(x)$
War das nun so weltbewegend schwer ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Fr 02.07.2010 | | Autor: | alexis88 |
Nein...danke!
Und daraus kann ich schon folgern: Y(x+t)=Y(x)Y(t)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nein...danke!
> Und daraus kann ich schon folgern: Y(x+t)=Y(x)Y(t)?
Noch nicht . Wer lesen kann ist im Vorteil: in der Aufgabenstellung steht ein wunderschöner Hinweis: ..... " und nutzen dass Lösungen von linearen Anfangswertproblemen mit konstantem A eindeutig sind. "
Wir setzen mal
(1) B:= Z(0)=W(0)
Weiter haben wir:
(2) $Z'(x)= AZ(X) $ und $W'(X)= AW(X)$
Für j=1, ..., n sei [mm] b_j [/mm] die j_te Spalte von B, [mm] z_j(x) [/mm] die j-te Spalte von Z(x) und [mm] w_j(x) [/mm] die j-te Spalte von W(x).
Aus (1) und (2) folgt:
[mm] z_j [/mm] und [mm] w_j [/mm] sind Lösungen des des AWPs
$y'=Ay$ , y(0) = [mm] b_j
[/mm]
Der Hinweis liefert nun: [mm] z_j=w_j
[/mm]
Somit haben wir: Z(x)=W(x)
So nun habe ich Dir den größten Teil der Aufgabe vorgemacht und damit gegen die Forenregeln verstoßen. Hoffentlich bekomme ich keinen Ärger !
FRED
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