www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Fundamentalsatz
Fundamentalsatz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fundamentalsatz: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Mi 30.09.2009
Autor: jumape

Aufgabe
Warum zerfällt jedes quadratische Polynom mit Koeffizienten in [mm] \IC [/mm] über [mm] \IC? [/mm]

Die Antwort dazu ist natürlich der Fundamentalsatz, allerdings benutze ich diese aussage auch im Beweis des Fundamentalsatzes und daher kann ich ihn hier nicht verwenden, dass wäre ein Ringschluss.
Mir ist leider überhaupt nicht klar wie das zu beweisen ist, aber ich glaube man müsste dazu die Wurzel von i berechnen und ich weiß leider nicht mehr wie das geht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ich bin den Beweis so angegangen:

Seien a,b,c [mm] \in \IC: [/mm]
[mm] az^2+bz+c=0 [/mm]

Kann man umschreiben zu:
[mm] z^2+\bruch{b}{a}z+\bruch{c}{a}=0 [/mm]

Wir müssen also nur ein normiertes Polynom zweiten Grades betrachten:

[mm] z^2+az+b=0 [/mm]

Dann können wir mit p-q-Formel schreiben:
[mm] z_{1,2}=-\bruch{a}{2}+-\wurzel{\bruch{a^2}{4}-b} [/mm]

Aber warum liegen die jetzt in [mm] \IC? [/mm]

Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

        
Bezug
Fundamentalsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 30.09.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Wir müssen also nur ein normiertes Polynom zweiten Grades
> betrachten:
>  
> [mm]z^2+az+b=0[/mm]
>  
> Dann können wir mit p-q-Formel schreiben:
>  [mm]z_{1,2}=-\bruch{a}{2}+-\wurzel{\bruch{a^2}{4}-b}[/mm]
>  
> Aber warum liegen die jetzt in [mm]\IC?[/mm]

Weil du in [mm] $\IC$ [/mm] zu jeder Zahl $p$ eine Quadratwurzel [mm] $q\in\IC$ [/mm] konstruieren kannst, zum Beispiel durch Verwendung der Polardarstellung.

[mm] $\bruch{a^2}{4}-b\in\IC$, [/mm] daher gibt es eindeutig bestimmte reelle Zahlen [mm] $0\le [/mm] r$, [mm] $0\le\varphi<2\pi$ [/mm]  mit

[mm] \bruch{a^2}{4}-b =re^{i\varphi}[/mm]

Die komplexe Zahl [mm] $q=\sqrt{r}e^{i\varphi/2} [/mm] $ ist eine Quadratwurzel von [mm] $\bruch{a^2}{4}-b$, [/mm] d.h. [mm] $q^2=\bruch{a^2}{4}-b$. [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]