Fundamentalsatz + Gebietstreue < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:32 Fr 27.03.2009 | | Autor: | rabsklee |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den Fundamentalsatz der Algebra über den Satz von der Gebietstreue |
Hallo,
Die Antwort auf diese Frage kenne ich eigentlich. Nur leider verstehe ich sie nicht ganz. Also erstmal die Antwort:
Wegen des Wachstumslemma ist der Wertevorrat von P(z) abgeschlossen. Gleichzeitig aber wegen des Satzes von der Gebietstreue offen. Wegen des Zusammenhangs also ganz C.
Eigentlich ist alles klar außer dem letzten Satz. Soweit ich weiß sind ganz C und die leere Menge sowohl offen als auch abgeschlossen. Dass der Wertevorrat von C auch zusammenhängend ist folgt aus dem Satz von der Gebietstreue. Meine Frage lautet also eigentlich nur: Ist die leere Menge als nicht zusammenhängend definiert und somit C die einzige Möglichkeit?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
1. In [mm] \IC [/mm] gibt es genau 2 Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, nämlich
[mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IC.
[/mm]
2. Ist P ein nicht konstantes Polynom , so ist [mm] P(\IC) [/mm] abgeschlossen. Nach dem Satz von der Gebietstreue ist [mm] $P(\IC)$ [/mm] ein Gebiet, also insbesondere offen.
Nach 1. folgt:
[mm] $P(\IC) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] oder [mm] $P(\IC) [/mm] = [mm] \IC$ [/mm] .
Da [mm] $P(\IC) \not= \emptyset$ [/mm] , ist also [mm] $P(\IC) [/mm] = [mm] \IC$.
[/mm]
Deine Frage , ob die leere Menge zusammenhängend ist, kannst Du Dir selbst beantworten mit der Def. von "zusammenhängend", beachte dabei: [mm] \emptyset [/mm] ist offen.
FRED
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