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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Do 25.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.
Und zwar steht bei mir, dass sich die Existenz einer Nullstelle eines Polynoms P unmittelbar aus zwei kleinen Sätzen über die Funktion |P| ergibt.
Satz 1:
|P| nimmt auf [mm] \IC [/mm] ein Minimum an.
Satz 2:
|P| hat an einer Stelle [mm] z_0 [/mm] mit [mm] P(z_0)\not=0 [/mm] kein Minimum.
Ich verstehe nicht, wieso aus diesen beiden Sätzen der Fundamentalsatz der Algebra folgt.
Vor allem weil es ja auch nur um |P| und nicht um P geht.
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 25.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Satz 1 sagt, es gibt eine Minimalstelle [mm] $z_0\in\IC$ [/mm] für [mm]|P|[/mm]. Satz 2 sagt aber: "Wenn [mm] $P(z_0)\ne [/mm] 0$, dann ist [mm] $z_0$ [/mm] keine Minimalstelle von $|P|$" oder äquivalent: "Ist [mm] $z_0$ [/mm] eine Minimalstelle von $|P|$, dann ist [mm] $P(z_0)=0$."
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Do 25.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Hmm, irgendwie versteh ich das noch nicht.
> Satz 1 sagt, es gibt eine Minimalstelle [mm]z_0\in\IC[/mm] für [mm]|P|[/mm].
Ja, ok, das verstehe ich.
> Satz 2 sagt aber: "Wenn [mm]P(z_0)\ne 0[/mm], dann ist [mm]z_0[/mm] keine
> Minimalstelle von [mm]|P|[/mm]"
Aber diese Aussage gilt doch nur für eine Stelle [mm] z_0, [/mm] oder?
Irgendwie klingt das bei dir so, als ob alle [mm] z_0 [/mm] keine Minimalstelle sind, für die [mm]P(z_0)\ne 0[/mm] ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Also ich verstehe den Satz so, dass ich eine Stelle [mm] z_0 [/mm] mit [mm] P(z_0)\not=0 [/mm] finden kann, so dass |P| an dieser Stelle kein Minimum hat.
Und irgendwie hab ich jetzt totale Probleme, die Aussage so "umzudrehen", wie du es gemacht hast
Wir haben nie wirklich diese logischen Aussagen behandelt, deshalb hab ich da totale Probleme mit.
Kannst du mir das erklären, wie du die Aussage des Satzes "umgewandelt" hast?
> oder äquivalent: "Ist [mm]z_0[/mm] eine
> Minimalstelle von [mm]|P|[/mm], dann ist [mm]P(z_0)=0[/mm]."
Also heißt das:
|P| hat eine Minimalstelle nach Satz 1, und nach Satz 2 ist diese Minimalstelle eine Nullstelle?
Und wie komme ich nun von |P| auf P?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs mal so:
Zu zeigen ist: es gibt ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit: [mm] $P(z_0)=0$
[/mm]
Beweis:
Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit:
(*) [mm] $|P(z_0)| \le [/mm] |P(z)|$ für jedes z [mm] \in \IC [/mm] .
Dieses [mm] z_0 [/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn wäre [mm] $P(z_0) \ne [/mm] 0$, so würde aus Satz 2 folgen:
es gibt ein [mm] z_1 \in \IC [/mm] mit: [mm] $|P(z_0)| [/mm] > [mm] |P(z_1)|$ [/mm] .
Das ist aber ein Widerspruch zu (*)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 25.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Machen wirs mal so:
>
> Zu zeigen ist: es gibt ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit: [mm]P(z_0)=0[/mm]
Hier wird jetzt der Fundamentalsatz behauptet, richtig?
> Beweis:
>
> Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit:
>
> (*) [mm]|P(z_0)| \le |P(z)|[/mm] für jedes z [mm]\in \IC[/mm] .
>
> Dieses [mm]z_0[/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn
> wäre [mm]P(z_0) \ne 0[/mm], so würde aus Satz 2 folgen:
>
> es gibt ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] mit: [mm]|P(z_0)| > |P(z_1)|[/mm] .
>
> Das ist aber ein Widerspruch zu (*)
Ok, jetzt ist also gezeigt, dass [mm] z_0 [/mm] wirklich eine Nullstelle ist.
Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet wird.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
>
>
> > Machen wirs mal so:
> >
> > Zu zeigen ist: es gibt ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit: [mm]P(z_0)=0[/mm]
>
> Hier wird jetzt der Fundamentalsatz behauptet, richtig?
Ja
>
>
>
> > Beweis:
> >
> > Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit:
> >
> > (*) [mm]|P(z_0)| \le |P(z)|[/mm] für jedes z [mm]\in \IC[/mm] .
> >
> > Dieses [mm]z_0[/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn
> > wäre [mm]P(z_0) \ne 0[/mm], so würde aus Satz 2 folgen:
> >
> > es gibt ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] mit: [mm]|P(z_0)| > |P(z_1)|[/mm] .
> >
> > Das ist aber ein Widerspruch zu (*)
>
> Ok, jetzt ist also gezeigt, dass [mm]z_0[/mm] wirklich eine
> Nullstelle ist.
ist doch schön , oder ?
>
> Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn
> die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet
> wird.
Nochmal. [mm] $|P(z_0)|= [/mm] 0$ [mm] \gdw $P(z_0)= [/mm] 0$
FRED
>
>
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 25.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> ist doch schön , oder ?
Joa 
> > Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn
> > die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet
> > wird.
>
> Nochmal. [mm]|P(z_0)|= 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]P(z_0)= 0[/mm]
Vielleicht bin ich grad voll blind, aber diese Äquivalenz wird doch in dem Beweis oben gar nicht benutzt, oder?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
P hat eine Nullstelle in [mm] z_0 \gdw [/mm] |P| hat eine Nullstelle in [mm] z_0
[/mm]
Die Sätze 1 und 2 machen Aussagen über |P|
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 25.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> P hat eine Nullstelle in [mm]z_0 \gdw[/mm] |P| hat eine Nullstelle
> in [mm]z_0[/mm]
>
> Die Sätze 1 und 2 machen Aussagen über |P|
Man braucht die Äquivalenz eigentlich wirklich nicht. Satz 2 macht eine Aussage über |P| und P: Die Minimalstellen von |P| sind Nullstellen von P.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 25.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Man braucht die Äquivalenz eigentlich wirklich nicht.
> Satz 2 macht eine Aussage über |P| und P: Die
> Minimalstellen von |P| sind Nullstellen von P.
Ja, genau das dachte ich nämlich auch.
Hmm, ok.
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 25.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Und irgendwie hab ich jetzt totale Probleme, die Aussage so
> "umzudrehen", wie du es gemacht hast
Man kann zeigen (Stichwort Wahrheitstafel), dass [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ äquivalent ist zu [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$. Man bezeichnet das als Bildung der "Kontraposition".
Gruß, Robert
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