Fundamentalsysteme berechnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 29.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungssysteme:
[mm] y'(x) = \pmat{ 3&1&-1 \\ 1&3&-1\\3&3&-1 } * y(x)
[/mm] |
Hallo,
ich brauche mal wieder Hilfe, ...
Ich weiß, dass ich die Eigenwerte über das charakteristische Polynom berechnen muss.
In diesem Fall sind dann 1 eine einfache und zwei eine doppelte Nullstelle:
[mm]
y_1 = 1
y_{2,3} = 2
[/mm]
Daraus wird dann "irgendwie" ein Fundamentalsystem gebildet,
indem man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bildet. Zwischenschritte gekürzt,
da dürfte noch nicht das Problem sein...
[mm]
y_1 = e^x \pmat{1\\1\\0}
[/mm]
Bei dem Eigenwert 2 sieht das dann glaub ich anders aus?
Ich hab nur ehrlich gesagt nicht ganz verstanden, wie...
(alles, was eine algebraische Vielfachheit > 1 hat, wird anders gebildet?)
Wäre lieb, wenn es jemand kurz erklären könnte?
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der
> folgenden homogenen linearen
> Differentialgleichungssysteme:
> [mm]y'(x) = \pmat{ 3&1&-1 \\
1&3&-1\\
3&3&-1 } * y(x)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich brauche mal wieder Hilfe, ...
>
> Ich weiß, dass ich die Eigenwerte über das
> charakteristische Polynom berechnen muss.
> In diesem Fall sind dann 1 eine einfache und zwei eine
> doppelte Nullstelle: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]y_1 = 1 y_{2,3} = 2[/mm]
> Daraus wird dann "irgendwie" ein
> Fundamentalsystem gebildet,
> indem man die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bildet.
> Zwischenschritte gekürzt,
> da dürfte noch nicht das Problem sein...
Oder doch ?!
> [mm]y_1 = e^x \pmat{1\\
1\\
0}[/mm]
Ich bekomme aber zum Eigenwert [mm] $\lambda=1$ [/mm] als Eigenvektor [mm] $\vektor{1\\1\\\red{3}}$
[/mm]
> Bei dem Eigenwert 2 sieht das
> dann glaub ich anders aus?
> Ich hab nur ehrlich gesagt nicht ganz verstanden, wie...
> (alles, was eine algebraische Vielfachheit > 1 hat, wird
> anders gebildet?)
Nun, rechne doch die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] mal konkret aus.
Ich komme auf zwei linear unabh. Eigenvektoren, da brauchst du also für dein Fundamentalsystem keine Hauptbektoren und keinen sonstigen Stress ...
>
> Wäre lieb, wenn es jemand kurz erklären könnte?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 30.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungssysteme.
[mm]
y'(x) = \pmat{1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1} y(x)
[/mm] |
Mmmh ja, schön, wenn man die eigene Schrift nicht lesen kann :P
Ich hatte den Eigenvektor schon richtig...
Und das sieht wohl gerade ein wenig konfus aus...
Hier sind dann nochmal die Eigenvektoren zu der ersten Aufgabe
Also:
[mm]
y_1 = \pmat{1\\1\\3}
y_2 = \pmat{-1\\1\\0}
y_3 =\pmat {1\\0\\1}
[/mm]
Und dann eine zweite Aufgabe, weil ich um die Sache mit den Hauptvektoren wohl doch nicht rumkomme...
Bei der Aufgabe hier habe ich nur den Eigenwert 1.
(Nur reelle Lösungen gewünscht...)
Und als einzigen Eigenwert hätte ich
[mm]
\pmat{2\\-3\\2}[/mm]
Was muss ich jetzt damit machen??
|
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem der
> folgenden homogenen linearen
> Differentialgleichungssysteme.
> [mm]
y'(x) = \pmat{1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1} y(x)
[/mm]
> Mmmh ja, schön,
> wenn man die eigene Schrift nicht lesen kann :P
> Ich hatte den Eigenvektor schon richtig...
>
> Und das sieht wohl gerade ein wenig konfus aus...
> Hier sind dann nochmal die Eigenvektoren zu der ersten
> Aufgabe
> Also:
> [mm]
y_1 = \pmat{1\\1\\3}
y_2 = \pmat{-1\\1\\0}
y_3 =\pmat {1\\0\\1}
[/mm]
>
> Und dann eine zweite Aufgabe, weil ich um die Sache mit den
> Hauptvektoren wohl doch nicht rumkomme...
>
> Bei der Aufgabe hier habe ich nur den Eigenwert 1.
> (Nur reelle Lösungen gewünscht...)
> Und als einzigen Eigenwert hätte ich
> [mm]
\pmat{2\\-3\\2}[/mm]
> Was muss ich jetzt damit machen??
Nun, eine Lösung des obigen DGL-Systems ist dann:
[mm]\pmat{2\\-3\\2}*e^{x}[/mm]
Zunächst liefert das obige DGL-System eine komplexe Lösung.
Aus dieser komplexen Lösung des DGL-Systems läßt sich
bei geigneter Wahl der Konstanten eine reelle Lösung konstruieren.
Berechne daher zunächst alle Eigenvektoren.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 30.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Eigenwert [mm] y_1 [/mm] = 1
Eigenwert [mm] y_2 [/mm] = 1 - 2i;
Eigenwert [mm] y_3 [/mm] = 1 + 2i;
zum Eigenwert 1-2î:
[mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] \pmat{0\\-i\\1}
[/mm]
[mm] y_3 [/mm] = [mm] \pmat{0\\i\\1}
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = [mm] \pmat{2\\-3\\2}
[/mm]
(und danke zwischendurch schonmal für die Hilfe!!)
|
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Eigenwert [mm]y_1[/mm] = 1
> Eigenwert [mm]y_2[/mm] = 1 - 2i;
> Eigenwert [mm]y_3[/mm] = 1 + 2i;
> zum Eigenwert 1-2î:
> [mm]
[mm]y_2[/mm] = [mm]\pmat{0\\-i\\1}[/mm]
[mm]y_3[/mm] = [mm]\pmat{0\\i\\1}[/mm]
[mm]y_1[/mm] = [mm]\pmat{2\\-3\\2}[/mm]
> (und danke zwischendurch schonmal für die Hilfe!!)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 30.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Aber damit habe ich dann doch eine komplexe Lösung?
Nehme ich dann doch nur den einen Eigenvektor?
|
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Aber damit habe ich dann doch eine komplexe Lösung?
>
Das ist richtig.
> Nehme ich dann doch nur den einen Eigenvektor?
Nein-
Schreibe erstmal die komplexe Lösung des DGL-Systems auf.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 30.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Hmm,
das wäre dann:
[mm]
y_1 =e^x \vektor{2 \\ -3\\2}
y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-1\\1}
y_3 = e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1}
[/mm]
Ab hier hatte ich ehrlichgesagt schon keine Ahnung mehr..
|
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Hmm,
>
> das wäre dann:
> [mm]
y_1 =e^x \vektor{2 \\ -3\\2}
y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-1\\1}
y_3 = e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1}
[/mm]
>
Hier muiss es doch lauten:
[mm]y_2 = e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-\blue{i}\\1} [/mm]
> Ab hier hatte ich ehrlichgesagt schon keine Ahnung mehr..
>
Die Lösungen des DGL-Systems sind dann
sämtliche Linearkombinationen davon.
[mm]y=c_{1}*y_{1}+c_{2}*y_{2}+c_{3}*y_{3}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Do 30.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Ich schiebs jetzt einfach mal auf die Müdigkeit, ...
Ich steh komplett auf dem Schlauch und werd dann morgen früh mal in Ruhe nochmal drüberschauen.
Trotzdem vielen vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 01.07.2011 | | Autor: | kaschina |
Also angefangen wird mit
y = [mm] e^x \vektor{2 \\ -3\\2} *c_1 [/mm] + [mm] c_2* e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-i\\1} +c_3* e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1} [/mm] $
Die Lösungen, die ich bekomme, haben allerdings alle "i"s.
Bzw sind so kompliziert, dass ich wohl was falsch gemacht habe.
Soll ich das wirklich in Matrizenform lösen?
|
|
|
| |
|
Hallo kaschina,
> Also angefangen wird mit
>
> y = [mm]e^x \vektor{2 \\ -3\\2} *c_1[/mm] + [mm]c_2* e^{x(1-2i)} \vektor{0\\-i\\1} +c_3* e^{x(1+2i)}\vektor{0\\i\\1}[/mm]
> $
>
>
> Die Lösungen, die ich bekomme, haben allerdings alle
> "i"s.
> Bzw sind so kompliziert, dass ich wohl was falsch gemacht
> habe.
Verwende jetzt die Eulersche Identität, um das auszurechen.
Und trenne das nach Real- und Imaginärteil.
>
> Soll ich das wirklich in Matrizenform lösen?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
