Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mi 30.04.2008 | | Autor: | annaS |
| Aufgabe | a.) Sei f(x) = [mm] e^{x^{2}+x+1} [/mm] . Geben Sie die Näherung 1. Ordnung von f(x) für kleine |x| an. Skizzieren Sie auch grob den Graphen von f. Nutzen Sie, dass f eine lineare Tranformation einer einfacheren Funktion ist (welcher).
b.) Sei h(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}. [/mm] Was ist der maximale reelle Definitionsbereich des Ausdrucks? Skizzieren Sie den Graphen der zugehörigen Funktion in diesem Definitionsbereich grob. Beantworten Sie mittels der 1. Ableitung die Extremwertfrage quantitativ. |
Guten morgen,
könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiss garnicht so recht wie ich anfangen soll, geschweige denn eine Lösung zu dieser Aufgabe finden soll.
Es wäre nett wenn mir jemand Hilfestellungen zu dieser Aufgabe geben könnte bzw. mir den Lösungsweg erläutern würde.
Irgendwie bin ich gerade wirklich verzweifelt und würde mich daher sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte
Liebe Grüße
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 30.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Anna und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> b.) Sei h(x) = [mm]\bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}.[/mm] Was ist der
> maximale reelle Definitionsbereich des Ausdrucks?
> Skizzieren Sie den Graphen der zugehörigen Funktion in
> diesem Definitionsbereich grob. Beantworten Sie mittels der
> 1. Ableitung die Extremwertfrage quantitativ.
Du hast hier ja als Funktion einen Bruch. In einem Solchen Bruch darf den Nenner ja nicht Null werden, also musst du beim Def.-Bereich die Werte für x ausschliessen, bei denen genau das passiert.
Also hier:
[mm] 1+x^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}=-1
[/mm]
Hier hast du aber Glück, da sich diese Gleichung in [mm] \IR [/mm] nicht lösen lässt,, also hast du damit schonmal kein Problem
Bleibt noch der Zähler, der ja eigentlich keine Einschränkung hat. Hier hast du aber eine Wurzel dabei. Bei dieser darf der Radikand (Der Term darunter) nicht negativ werden.
Also musst du hier die Werte für x ausschliessen, für die gilt:
$x+1<0$
[mm] \gdw-1
Für die Skizze brauchst du jetzt noch die Extremstellen und die Nullstellen
(Quantitativ heisst hier vermutlich, dass du nur die Stellen bestimmen sollst, und nicht den kompletten Extrempunkt. Also brauchst du bei deinem Koordinatensystem nur die x-Achse Skalieren)
Für die Nullstellen muss gelten:
h(x)=0
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{x+1}}{1+x^{2}}=0
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{x+1}=0
[/mm]
[mm] \gdw0=x+1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
Für die Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] muss gelten:
[mm] h'(x_{e})=0 [/mm] und [mm] h''(x_{e})\ne0 [/mm] (<0 für Hochpunkt, >0 für Tiefpunkt)
Also bilde erstmal die beiden Ableitungen (Mit Quotienten und Kettenregel)
[mm] h(x)=\bruch{\overbrace{\wurzel{x+1}}^{u}}{\underbrace{1+x^{2}}_{v}}
[/mm]
[mm] h'(x)=\bruch{\overbrace{\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}}^{u'}\overbrace{(1+x²)}^{v}-\overbrace{\wurzel{1+x}}^{u}*\overbrace{2x}^{v'}}{\underbrace{(1+x²)^{2}}_{v²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}}{1+x²}-\bruch{2x\wurzel{1+x}}{(1+x²)^{2}}
[/mm]
Hast du das, kannst du die Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] bestimmen, und dann die Funktion skizzieren.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi,
> gilt:
> [mm]x+1<0[/mm]
> [mm]\gdw-1
>
hier muss es aber [mm] x+1\ge\\0 [/mm] heissen
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mi 30.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
>
> > gilt:
> > [mm]x+1<0[/mm]
> > [mm]\gdw-1
> >
> hier muss es aber [mm]x+1\ge\\0[/mm] heissen
>
> Gruß
Nicht zwingend. Das kommt darauf an, ob man als Ergebnis den "Ausschlussbereich" oder den Def.-Bereich haben will.
Ich habe es mir angewöhnt, den Ausschlussbereich zu suchen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mi 30.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
>
> >
> > Nicht zwingend. Das kommt darauf an, ob man als Ergebnis
> > den "Ausschlussbereich" oder den Def.-Bereich haben will.
> > Ich habe es mir angewöhnt, den Ausschlussbereich zu
> > suchen.
> >
> Ja ok verstehe 
> Also du hast
> x+1<0
> [mm]\gdw[/mm] x<-1 ausgeschlossen. Ich meinete nur dass dein
> Äqivalenzpfeil irgendwie nicht stimmt. Aber ich weiss was
> du meinst
Oops, sorry.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mi 30.04.2008 | | Autor: | annaS |
Ich danke dir marius für die hilfe bei dieser Aufgabe.
Jetzt versteh ich endlich wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss.
Nun hoffe ich nur, dass es noch jemanden gibt der mir mit a) helfen kann.
Liebe Grüße Anna
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Taylorentwicklung![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
