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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 18.10.2005 | | Autor: | anca |
Hi Zusammen
Aus lauter Langeweile habe ich mir selbst folgende Aufgabe gestellt.
es sind x leute anwesend, jeder gibt jedem einmal die hand, wieviele Händedrücken gibt es ?
Wie lautet diese Funktion ?
meine Lösung ist
f(x) = [mm] \bruch{ x^{2}-x}{2}
[/mm]
Leider bin ich nur durch ausprobieren auf diese Lösung gekommen.
Kann mir jemand erklären, wie ich diese Funktion rechnerisch herausfinden kann.
wenn ich weiss
[mm] P_{1} [/mm] = (2 | 1)
[mm] P_{2} [/mm] = (3 | 3)
[mm] P_{3} [/mm] = (5 | 10)
[mm] P_{4} [/mm] = (6 | 15)
[mm] P_{5} [/mm] = (7 | 21)
Besten Dank für Eure Hilfe
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Hallo anca,
> es sind x leute anwesend, jeder gibt jedem einmal die hand,
> wieviele Händedrücken gibt es ?
> Wie lautet diese Funktion ?
Überlegen wir mal. Die erste Person von insgesamt $x$ Personen schüttelt den restlichen $x-1$ die Hand. Nun führen wir diese Person zur Seite und es bleiben noch $x-1$ Personen übrig.
Die erste Person von insgesamt $x-1$ Personen schüttelt den restlichen $x-2$ die Hand. Nun führen wir diese Person zur Seite und es bleiben noch $x-3$ Personen übrig.
[mm] $\vdots$
[/mm]
Die erste Person, die gleichzeitig auch die Letzte ist, kann somit keinem mehr die Hand schütteln.
Es wurden also beim ersten Mal $x-1$ Hände geschüttelt, und dazu
beim zweiten Mal $x-2$ Hände geschüttelt, und dazu
beim dritten Mal $x-3$ Hände geschüttelt, und dazu
[mm] $\vdots$
[/mm]
beim x-ten Mal 0 Hände geschüttelt.
Schreiben wir uns diesen Sachverhalt etwas formaler hin:
[mm] $\sum_{i = 1}^{x}{\left(x-i\right)} [/mm] = [mm] \left(\sum_{i = 1}^{x}{x}\right)-\sum_{i=1}^{x}{i}$
[/mm]
Die erste Summe bedeutet einfach nur: Addiere $x$ $x$ mal mit sich selbst, was ja gerade [mm] $x^2$ [/mm] wäre. Für die zweite Summe existiert die Formel von Gauss. Damit erhalten wir [mm] $x^2 [/mm] - [mm] \frac{x\left(x+1\right)}{2}$, [/mm] was uns letztlich zu deinem Term führt.
[Übrigens ist der Term, den Du rausgekriegt hast, die Laufzeit vieler Sortierverfahren in der Informatik, wie z.B. Sortieren durch Einfügen oder Sortieren durch Auswahl. Der Vorgang, den ich oben beschrieben habe, entspräche z.B. genau umgekehrtem Sortieren durch Einfügen, wobei das Händeschütteln größer-kleiner-Vergleichen zwischen Zahlenelementen eines Arrays entsprechen würde. Ok, aber das nur nebenbei...  ]
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